微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + x^{- 3}}{3 x^{- 3} + 5}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + x^{- 3}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 3} + 5}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} x^{- 3}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 3} + 5}$

解题步骤 3

计算 $7$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} x^{- 3}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 3} + 5}$

解题步骤 4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 3} + 5}$

解题步骤 5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{7 + 0}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 3} + 5}$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{7 + 0}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 3} + lim_{x \to \infty} 5}$

解题步骤 6.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{7 + 0}{3 lim_{x \to \infty} x^{- 3} + lim_{x \to \infty} 5}$

解题步骤 7

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{7 + 0}{3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} 5}$

解题步骤 8

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{7 + 0}{3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 5}$

解题步骤 9

计算极限值。

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解题步骤 9.1

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{7 + 0}{3 \cdot 0 + 5}$

解题步骤 9.2

化简答案。

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解题步骤 9.2.1

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$\frac{7}{3 \cdot 0 + 5}$

解题步骤 9.2.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.2.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{7}{0 + 5}$

解题步骤 9.2.2.2

将 $0$ 和 $5$ 相加。

$\frac{7}{5}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{7}{5}$

小数形式：

$1.4$

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