微积分学示例

$f (x) = 3 x^{2} - x^{3}$ , $[1, \frac{5}{2}]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $3 x^{2} - x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$6 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$6 x - (3 x^{2})$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$6 x - 3 x^{2}$

解题步骤 1.1.1.4

重新排序项。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 3 x^{2} + 6 x$ 。

$- 3 x^{2} + 6 x$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 3 x^{2} + 6 x = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 3 x^{2} + 6 x = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $- 3 x^{2} + 6 x$ 中分解出因数 $- 3 x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 3 x$ 。

$- 3 x \cdot x + 6 x = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从 $6 x$ 中分解出因数 $- 3 x$ 。

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 2 = 0$

解题步骤 1.2.2.3

从 $- 3 x (x) - 3 x (- 2)$ 中分解出因数 $- 3 x$ 。

$- 3 x (x - 2) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.5

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 1.2.6

最终解为使 $- 3 x (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 2$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $3 x^{2} - x^{3}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$3 {(0)}^{2} - {(0)}^{3}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$3 \cdot 0 - {(0)}^{3}$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$0 - {(0)}^{3}$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 0$

解题步骤 1.4.1.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 1.4.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 1.4.2

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$3 {(2)}^{2} - {(2)}^{3}$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 \cdot 4 - {(2)}^{3}$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 - {(2)}^{3}$

解题步骤 1.4.2.2.1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$12 - 1 \cdot 8$

解题步骤 1.4.2.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$12 - 8$

解题步骤 1.4.2.2.2

从 $12$ 中减去 $8$ 。

$4$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(0, 0), (2, 4)$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(2, 4)$

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$3 {(1)}^{2} - {(1)}^{3}$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$3 \cdot 1 - {(1)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 - {(1)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$3 - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.1.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 - 1$

解题步骤 3.1.2.2

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$2$

解题步骤 3.2

在 $x = \frac{5}{2}$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入 $\frac{5}{2}$ 替换 $x$ 。

$3 {(\frac{5}{2})}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

对 $\frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$3 \frac{5^{2}}{2^{2}} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

解题步骤 3.2.2.1.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 \frac{25}{2^{2}} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

解题步骤 3.2.2.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 (\frac{25}{4}) - {(\frac{5}{2})}^{3}$

解题步骤 3.2.2.1.4

乘以 $3 (\frac{25}{4})$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.4.1

组合 $3$ 和 $\frac{25}{4}$ 。

$\frac{3 \cdot 25}{4} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

解题步骤 3.2.2.1.4.2

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$\frac{75}{4} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

解题步骤 3.2.2.1.5

对 $\frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{75}{4} - \frac{5^{3}}{2^{3}}$

解题步骤 3.2.2.1.6

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{75}{4} - \frac{125}{2^{3}}$

解题步骤 3.2.2.1.7

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{75}{4} - \frac{125}{8}$

解题步骤 3.2.2.2

要将 $\frac{75}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{75}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{125}{8}$

解题步骤 3.2.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 3.2.2.3.1

将 $\frac{75}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{75 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{125}{8}$

解题步骤 3.2.2.3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{75 \cdot 2}{8} - \frac{125}{8}$

解题步骤 3.2.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{75 \cdot 2 - 125}{8}$

解题步骤 3.2.2.5

化简分子。

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解题步骤 3.2.2.5.1

将 $75$ 乘以 $2$ 。

$\frac{150 - 125}{8}$

解题步骤 3.2.2.5.2

从 $150$ 中减去 $125$ 。

$\frac{25}{8}$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(1, 2), (\frac{5}{2}, \frac{25}{8})$

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(2, 4)$

最小绝对值： $(1, 2)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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