微积分学示例

$\int_{0}^{2} (2 x^{3} - 6 x + \frac{3}{x^{2} + 1}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{0}^{2} 2 x^{3} - 6 x + \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{2} 2 x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 6 x d x + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 6 x d x + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 6 x d x + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 6 x d x + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 6

由于 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 6$ 移到积分外。

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 9

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 3 \int_{0}^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 10

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 3 \int_{0}^{2} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 10.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 3 \int_{0}^{2} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 11

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x)]_{0}^{2}$ 。

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 3 (\arctan (x)]_{0}^{2})$

解题步骤 12

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

计算 $\frac{x^{4}}{4}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$2 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 3 (\arctan (x)]_{0}^{2})$

解题步骤 12.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\arctan (x)]_{0}^{2})$

解题步骤 12.3

计算 $\arctan (x)$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.4.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$2 (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.2

约去 $16$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.4.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.4.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.2.2.2

约去公因数。

$2 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.2.2.3

重写表达式。

$2 (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.2.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$2 (4 - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$2 (4 - \frac{0}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.4

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.4.4.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 (4 - \frac{4 (0)}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.4.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.4.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.4.2.2

约去公因数。

$2 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.4.2.3

重写表达式。

$2 (4 - \frac{0}{1}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.4.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$2 (4 - 0) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$2 (4 + 0) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.6

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$2 \cdot 4 - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.8

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 - 6 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.9

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.4.9.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.9.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.4.9.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.9.2.2

约去公因数。

$8 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.9.2.3

重写表达式。

$8 - 6 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.9.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$8 - 6 (2 - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.10

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$8 - 6 (2 - \frac{0}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.11

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.4.11.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 - 6 (2 - \frac{2 (0)}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.11.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.4.11.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 - 6 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.11.2.2

约去公因数。

$8 - 6 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.11.2.3

重写表达式。

$8 - 6 (2 - \frac{0}{1}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.11.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$8 - 6 (2 - 0) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.12

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$8 - 6 (2 + 0) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.13

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$8 - 6 \cdot 2 + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.14

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$8 - 12 + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

解题步骤 12.4.15

从 $8$ 中减去 $12$ 。

$- 4 + 3 (\arctan (2) - \arctan (0))$

解题步骤 13

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.1.1

计算 $\arctan (2)$ 。

$- 4 + 3 (1.10714871 - \arctan (0))$

解题步骤 13.1.1.2

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- 4 + 3 (1.10714871 - 0)$

解题步骤 13.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- 4 + 3 (1.10714871 + 0)$

解题步骤 13.1.2

将 $1.10714871$ 和 $0$ 相加。

$- 4 + 3 \cdot 1.10714871$

解题步骤 13.1.3

将 $3$ 乘以 $1.10714871$ 。

$- 4 + 3.32144615$

解题步骤 13.2

将 $- 4$ 和 $3.32144615$ 相加。

$- 0.67855384$

解题步骤 14

微积分学 示例

微积分学示例