微积分学示例

$e^{- x} (x^{2} + 2 x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{- x}$ 且 $g (x) = x^{2} + 2 x$ 。

$e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x] + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{- x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{- x} (2 x + 2 \cdot 1) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 3.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} \cdot - 1$

解题步骤 4.3.2

将 $- 1$ 移到 $(x^{2} + 2 x) e^{- x}$ 的左侧。

$e^{- x} (2 x + 2) - 1 \cdot ((x^{2} + 2 x) e^{- x})$

解题步骤 4.3.3

将 $- 1 (x^{2} + 2 x)$ 重写为 $- (x^{2} + 2 x)$ 。

$e^{- x} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x)) e^{- x}$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

解题步骤 5.4

合并项。

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解题步骤 5.4.1

将 $2$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$e^{- x} (2 x) + 2 \cdot e^{- x} - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

解题步骤 5.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x} (2 x) + 2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x}$

解题步骤 5.4.3

从 $e^{- x} (2 x)$ 中减去 $2 x e^{- x}$ 。

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解题步骤 5.4.3.1

移动 $e^{- x}$ 。

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} - 2 x e^{- x}$

解题步骤 5.4.3.2

从 $2 x e^{- x}$ 中减去 $2 x e^{- x}$ 。

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 0$

解题步骤 5.4.4

将 $2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$ 和 $0$ 相加。

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$

解题步骤 5.5

重新排序项。

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$

解题步骤 5.6

将 $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$ 中的因式重新排序。

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$

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