微积分学示例

$2 + 5 \arctan (\frac{t}{2})$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $2 + 5 \arctan (\frac{t}{2})$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$ 。

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$

解题步骤 1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5 \arctan (\frac{t}{2})$ 对 $t$ 的导数是 $5 \frac{d}{d t} [\arctan (\frac{t}{2})]$ 。

$0 + 5 \frac{d}{d t} [\arctan (\frac{t}{2})]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \arctan (t)$ 且 $g (t) = \frac{t}{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{t}{2}$ 。

$0 + 5 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

解题步骤 2.2.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$0 + 5 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

解题步骤 2.2.3

使用 $\frac{t}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

解题步骤 2.3

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{t}{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ 。

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]))$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1))$

解题步骤 2.5

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 2.6

将 $\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$0 + 5 \frac{1}{(1 + {(\frac{t}{2})}^{2}) \cdot 2}$

解题步骤 2.7

将 $2$ 移到 $1 + {(\frac{t}{2})}^{2}$ 的左侧。

$0 + 5 \frac{1}{2 \cdot (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$

解题步骤 2.8

组合 $5$ 和 $\frac{1}{2 (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$ 。

$0 + \frac{5}{2 (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

对 $\frac{t}{2}$ 运用乘积法则。

$0 + \frac{5}{2 (1 + \frac{t^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$0 + \frac{5}{2 \cdot 1 + 2 \frac{t^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 3.3

合并项。

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解题步骤 3.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$0 + \frac{5}{2 + 2 \frac{t^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 3.3.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$0 + \frac{5}{2 + 2 \frac{t^{2}}{4}}$

解题步骤 3.3.3

组合 $2$ 和 $\frac{t^{2}}{4}$ 。

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{4}}$

解题步骤 3.3.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.4.1

从 $2 t^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 (t^{2})}{4}}$

解题步骤 3.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.4.2.2

约去公因数。

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.4.2.3

重写表达式。

$0 + \frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$

解题步骤 3.3.5

将 $0$ 和 $\frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$ 相加。

$\frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + 2}$

解题步骤 3.5

化简分母。

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解题步骤 3.5.1

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 3.5.2

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{5}{\frac{t^{2} + 2 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.5.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5}{\frac{t^{2} + 4}{2}}$

解题步骤 3.6

将分子乘以分母的倒数。

$5 \frac{2}{t^{2} + 4}$

解题步骤 3.7

乘以 $5 \frac{2}{t^{2} + 4}$ 。

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解题步骤 3.7.1

组合 $5$ 和 $\frac{2}{t^{2} + 4}$ 。

$\frac{5 \cdot 2}{t^{2} + 4}$

解题步骤 3.7.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{10}{t^{2} + 4}$

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