微积分学示例

$\int \frac{2 x + 2}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

解题步骤 1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

从 $2 x + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \frac{2 (x) + 2}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

解题步骤 1.1.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \frac{2 (x) + 2 (1)}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

解题步骤 1.1.3

从 $2 (x) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

解题步骤 1.2

从 $3 x^{2} + 6 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x) + 6 x}} d x$

解题步骤 1.2.2

从 $6 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x) + 3 x (2)}} d x$

解题步骤 1.2.3

从 $3 x (x) + 3 x (2)$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x + 2)}} d x$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{x + 1}{\sqrt{3 x (x + 2)}} d x$

解题步骤 3

使 $u = 3 x (x + 2)$ 。然后使 $d u = (6 x + 6) d x$ ，以便 $\frac{1}{6} d u = (x + 1) d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

设 $u = 3 x (x + 2)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

对 $3 x (x + 2)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x (x + 2)]$

解题步骤 3.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x (x + 2)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x (x + 2)]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x (x + 2)]$

解题步骤 3.1.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x + 2$ 。

$3 (x \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.1.4

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.4.1

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$3 (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.1.4.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 (x (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.1.4.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$3 (x \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.1.4.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$3 (x + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.1.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (x + (x + 2) \cdot 1)$

解题步骤 3.1.4.6

通过加上各项进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.4.6.1

将 $x + 2$ 乘以 $1$ 。

$3 (x + x + 2)$

解题步骤 3.1.4.6.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$3 (2 x + 2)$

解题步骤 3.1.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.5.1

运用分配律。

$3 (2 x) + 3 \cdot 2$

解题步骤 3.1.5.2

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.5.2.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 x + 3 \cdot 2$

解题步骤 3.1.5.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 x + 6$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{6} d u$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 6} d u$

解题步骤 4.2

将 $6$ 移到 $\sqrt{u}$ 的左侧。

$2 \int \frac{1}{6 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

解题步骤 6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 6.1.2

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 6.1.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 6.1.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 6.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 6.2

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 6.2.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 6.2.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 6.2.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 6.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

解题步骤 8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

将 $\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ 重写为 $\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 9

使用 $3 x (x + 2)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2}{3} {(3 x (x + 2))}^{\frac{1}{2}} + C$

微积分学 示例

微积分学示例