微积分学示例

$\int_{0}^{1} (x^{2} - 1) e^{x} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2} - 1$ ， $d v = e^{x}$ 。

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} (2 x) d x$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} e^{x} (x) d x)$

解题步骤 3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} e^{x} (x) d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x)$

解题步骤 5

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $(x^{2} - 1) e^{x}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

解题步骤 6.2

计算 $x e^{x}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

解题步骤 6.3

计算 $e^{x}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.4

化简。

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解题步骤 6.4.1

一的任意次幂都为一。

$(1 - 1) e^{1} - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.4.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0 e^{1} - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.4.3

化简。

$0 e - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.4.4

将 $0$ 乘以 $e$ 。

$0 - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.4.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - (0 - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.4.6

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$0 - - 1 e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.4.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 1 e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.4.8

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 + 1 \cdot 1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.4.9

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$0 + 1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.4.10

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.4.11

化简。

$1 - 2 (1 e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.4.12

将 $e$ 乘以 $1$ 。

$1 - 2 (e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.4.13

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 - 2 (e + 0 \cdot 1 - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.4.14

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$1 - 2 (e + 0 - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.4.15

将 $e$ 和 $0$ 相加。

$1 - 2 (e - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.4.16

化简。

$1 - 2 (e - (e - e^{0}))$

解题步骤 6.4.17

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 - 2 (e - (e - 1 \cdot 1))$

解题步骤 6.4.18

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 - 2 (e - (e - 1))$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1.1

运用分配律。

$1 - 2 (e - e - - 1)$

解题步骤 7.1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 - 2 (e - e + 1)$

解题步骤 7.1.2

从 $e$ 中减去 $e$ 。

$1 - 2 (0 + 1)$

解题步骤 7.1.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1 - 2 \cdot 1$

解题步骤 7.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$1 - 2$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- 1$

解题步骤 8

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