微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{3 \cos (x)}{2 x - π}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 3 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1.1

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

解题步骤 1.2.1.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

解题步骤 1.2.2

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.3.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

解题步骤 1.2.3.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

解题步骤 1.3.1.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

解题步骤 1.3.1.3

计算 $π$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{π}{2}$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

解题步骤 1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.3.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.1.1

约去公因数。

$\frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

解题步骤 1.3.3.1.2

重写表达式。

$\frac{0}{π - π}$

解题步骤 1.3.3.2

从 $π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{3 \cos (x)}{2 x - π} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

解题步骤 3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{3 (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

解题步骤 3.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $2 x - π$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

解题步骤 3.6

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 3.6.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

解题步骤 3.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

解题步骤 3.6.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{2 + \frac{d}{d x} [- π]}$

解题步骤 3.7

因为 $- π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- π$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{2 + 0}$

解题步骤 3.8

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{2}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

因为项 $\frac{- 3}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)$

解题步骤 4.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{- 3}{2} \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

解题步骤 5

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 3}{2} \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{2} \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 6.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{3}{2} \cdot 1$

解题步骤 6.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3}{2}$

微积分学 示例

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