微积分学示例

$y = \sqrt{x} + x^{\frac{3}{2}} - 8 x$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - 8 x$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - 8 x)$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

解题步骤 4.2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

解题步骤 4.2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

解题步骤 4.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

解题步骤 4.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

解题步骤 4.2.5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

解题步骤 4.2.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 。

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解题步骤 4.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

解题步骤 4.3.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

解题步骤 4.3.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

解题步骤 4.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

解题步骤 4.3.5

化简分子。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

解题步骤 4.3.5.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

解题步骤 4.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ 。

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解题步骤 4.4.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 8 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 8 \cdot 1$

解题步骤 4.4.3

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 8$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 8$

解题步骤 4.5.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 8$

解题步骤 4.5.3

重新排序项。

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8$

解题步骤 4.5.4

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8$

微积分学 示例

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