微积分学示例

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} (x + 1) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x + 1$ ， $d v = \sqrt{x}$ 。

$(x + 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{2}{3}$ 移到积分外。

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{2}{3} \int_{0}^{1} x^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$((1 + 1) \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

解题步骤 5.2

计算 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$((1 + 1) \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 5.3.2

一的任意次幂都为一。

$2 \frac{2 \cdot 1}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 5.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 (\frac{2}{3}) - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 5.3.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 5.3.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 5.3.6

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4}{3} - 1 \cdot 1 \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 5.3.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 5.3.8

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 5.3.9

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 5.3.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.10.1

约去公因数。

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 5.3.10.2

重写表达式。

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{3}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 5.3.11

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 5.3.12

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4}{3} - 1 (\frac{0}{3}) - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 5.3.13

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.13.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{4}{3} - 1 \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 5.3.13.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.13.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{4}{3} - 1 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 5.3.13.2.2

约去公因数。

$\frac{4}{3} - 1 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 5.3.13.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{3} - 1 (\frac{0}{1}) - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 5.3.13.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{4}{3} - 1 \cdot 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 5.3.14

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 5.3.15

将 $\frac{4}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 5.3.16

一的任意次幂都为一。

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 5.3.17

将 $\frac{2}{5}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 5.3.18

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 5.3.19

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

解题步骤 5.3.20

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.20.1

约去公因数。

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

解题步骤 5.3.20.2

重写表达式。

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

解题步骤 5.3.21

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

解题步骤 5.3.22

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

解题步骤 5.3.23

将 $0$ 乘以 $\frac{2}{5}$ 。

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0)$

解题步骤 5.3.24

将 $\frac{2}{5}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}$

解题步骤 5.3.25

将 $\frac{2}{5}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{4}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

解题步骤 5.3.26

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3}$

解题步骤 5.3.27

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4}{3} - \frac{4}{15}$

解题步骤 5.3.28

要将 $\frac{4}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{15}$

解题步骤 5.3.29

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $15$ 的形式。

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解题步骤 5.3.29.1

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4}{15}$

解题步骤 5.3.29.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{4 \cdot 5}{15} - \frac{4}{15}$

解题步骤 5.3.30

在公分母上合并分子。

$\frac{4 \cdot 5 - 4}{15}$

解题步骤 5.3.31

化简分子。

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解题步骤 5.3.31.1

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{20 - 4}{15}$

解题步骤 5.3.31.2

从 $20$ 中减去 $4$ 。

$\frac{16}{15}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{16}{15}$

小数形式：

$1.0\overline{6}$

带分数形式：

$1 \frac{1}{15}$

解题步骤 7

微积分学 示例

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