微积分学示例

$\ln (x^{2} + y^{2}) + 2 \arctan (\frac{x}{y}) = 0$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2}) + 2 \arctan (\frac{x}{y})) = \frac{d}{d x} (0)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\ln (x^{2} + y^{2}) + 2 \arctan (\frac{x}{y})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + y^{2})]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2} + y^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2} + y^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

解题步骤 2.2.1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

解题步骤 2.2.1.3

使用 $x^{2} + y^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

解题步骤 2.2.2

根据加法法则， $x^{2} + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

解题步骤 2.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

解题步骤 2.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

解题步骤 2.2.4.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

解题步骤 2.2.5

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \arctan (\frac{x}{y})$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{y})]$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{y})]$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{y}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $\frac{x}{y}$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [\arctan (u_{3})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

解题步骤 2.3.2.2

$\arctan (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\frac{1}{1 + {u_{3}}^{2}}$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {u_{3}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $\frac{x}{y}$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

解题步骤 2.3.3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}})$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}})$

解题步骤 2.3.5

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}})$

解题步骤 2.3.6

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y - x y'}{y^{2}})$

解题步骤 2.3.7

将 $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}}$ 乘以 $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 \frac{y - x y'}{(1 + {(\frac{x}{y})}^{2}) y^{2}}$

解题步骤 2.3.8

组合 $2$ 和 $\frac{y - x y'}{(1 + {(\frac{x}{y})}^{2}) y^{2}}$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 (y - x y')}{(1 + {(\frac{x}{y})}^{2}) y^{2}}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

对 $\frac{x}{y}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 (y - x y')}{(1 + \frac{x^{2}}{y^{2}}) y^{2}}$

解题步骤 2.4.2

运用分配律。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y + 2 (- x y')}{(1 + \frac{x^{2}}{y^{2}}) y^{2}}$

解题步骤 2.4.3

运用分配律。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y + 2 (- x y')}{1 y^{2} + \frac{x^{2}}{y^{2}} y^{2}}$

解题步骤 2.4.4

合并项。

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解题步骤 2.4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 (x y')}{1 y^{2} + \frac{x^{2}}{y^{2}} y^{2}}$

解题步骤 2.4.4.2

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + \frac{x^{2}}{y^{2}} y^{2}}$

解题步骤 2.4.4.3

组合 $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ 和 $y^{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + \frac{x^{2} y^{2}}{y^{2}}}$

解题步骤 2.4.4.4

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.4.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + \frac{x^{2} y^{2}}{y^{2}}}$

解题步骤 2.4.4.4.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

解题步骤 2.4.4.5

要将 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y^{2} + x^{2}}{y^{2} + x^{2}}$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') \cdot \frac{y^{2} + x^{2}}{y^{2} + x^{2}} + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

解题步骤 2.4.4.6

组合 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ 和 $\frac{y^{2} + x^{2}}{y^{2} + x^{2}}$ 。

$\frac{\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2})}{y^{2} + x^{2}} + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

解题步骤 2.4.4.7

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2}) + 2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

解题步骤 2.4.5

重新排序项。

$\frac{(2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6

化简分子。

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解题步骤 2.4.6.1

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2})$ 。

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解题步骤 2.4.6.1.1

运用分配律。

$\frac{(2 x (y^{2} + x^{2}) + 2 y y' (y^{2} + x^{2})) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.1.2

运用分配律。

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x \cdot x^{2} + 2 y y' (y^{2} + x^{2})) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.1.3

运用分配律。

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x \cdot x^{2} + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.2

化简每一项。

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解题步骤 2.4.6.2.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.4.6.2.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{(2 x y^{2} + 2 (x^{2} x) + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.2.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.4.6.2.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(2 x y^{2} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.2.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{2 + 1} + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.2.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.2.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 2.4.6.2.2.1

移动 $y^{2}$ 。

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 (y^{2} y) y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.2.2.2

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.4.6.2.2.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 (y^{2} y^{1}) y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{2 + 1} y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.2.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.3

将 $2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 。

$\frac{\frac{2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.4

化简分子。

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解题步骤 2.4.6.4.1

从 $2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.4.6.4.1.1

从 $2 x y^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.4.1.2

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 (x^{3}) + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.4.1.3

从 $2 y^{3} y'$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 (x^{3}) + 2 (y^{3} y') + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.4.1.4

从 $2 y y' x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 (x^{3}) + 2 (y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.4.1.5

从 $2 (x y^{2}) + 2 (x^{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (x y^{2} + x^{3}) + 2 (y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.4.1.6

从 $2 (x y^{2} + x^{3}) + 2 (y^{3} y')$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (x y^{2} + x^{3} + y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.4.1.7

从 $2 (x y^{2} + x^{3} + y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (x y^{2} + x^{3} + y^{3} y' + y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.4.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.4.6.4.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{\frac{2 ((x y^{2} + x^{3}) + y^{3} y' + y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.4.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{\frac{2 (x (y^{2} + x^{2}) + y y' (y^{2} + x^{2}))}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.4.3

通过因式分解出最大公因数 $y^{2} + x^{2}$ 来因式分解多项式。

$\frac{\frac{2 (y^{2} + x^{2}) (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.5

约去 $y^{2} + x^{2}$ 和 $x^{2} + y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.6.5.1

重新排序项。

$\frac{\frac{2 (x^{2} + y^{2}) (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.5.2

约去公因数。

$\frac{\frac{2 (x^{2} + y^{2}) (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.5.3

用 $2 (x + y y')$ 除以 $1$ 。

$\frac{2 (x + y y') - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.6

运用分配律。

$\frac{2 x + 2 (y y') - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.7

从 $2 x + 2 y y' - 2 x y' + 2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.4.6.7.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x) + 2 y y' - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.7.2

从 $2 y y'$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x) + 2 (y y') - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.7.3

从 $- 2 x y'$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x) + 2 (y y') + 2 (- x y') + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.7.4

从 $2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x) + 2 (y y') + 2 (- x y') + 2 (y)}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.7.5

从 $2 (x) + 2 (y y')$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x + y y') + 2 (- x y') + 2 (y)}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.7.6

从 $2 (x + y y') + 2 (- x y')$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x + y y' - x y') + 2 (y)}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2.4.6.7.7

从 $2 (x + y y' - x y') + 2 (y)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 3

因为 $0$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{x^{2} + y^{2}} = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将分子设为等于零。

$2 (x + y y' - x y' + y) = 0$

解题步骤 5.2

求解 $y'$ 的方程。

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解题步骤 5.2.1

将 $2 (x + y y' - x y' + y) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $2 (x + y y' - x y' + y) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.2.1.2.1.2

用 $x + y y' - x y' + y$ 除以 $1$ 。

$x + y y' - x y' + y = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.1.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x + y y' - x y' + y = 0$

解题步骤 5.2.2

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.2.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$y y' - x y' + y = - x$

解题步骤 5.2.2.2

从等式两边同时减去 $y$ 。

$y y' - x y' = - x - y$

解题步骤 5.2.3

从 $y y' - x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

从 $y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' y - x y' = - x - y$

解题步骤 5.2.3.2

从 $- x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (y) + y' (- x) = - x - y$

解题步骤 5.2.3.3

从 $y' (y) + y' (- x)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (y - x) = - x - y$

解题步骤 5.2.4

将 $y' (y - x) = - x - y$ 中的每一项除以 $y - x$ 并化简。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $y' (y - x) = - x - y$ 中的每一项都除以 $y - x$ 。

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- x}{y - x} + \frac{- y}{y - x}$

解题步骤 5.2.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.4.2.1

约去 $y - x$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- x}{y - x} + \frac{- y}{y - x}$

解题步骤 5.2.4.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- x}{y - x} + \frac{- y}{y - x}$

解题步骤 5.2.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.4.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- x - y}{y - x}$

解题步骤 5.2.4.3.2

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (x) - y}{y - x}$

解题步骤 5.2.4.3.3

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (x) - (y)}{y - x}$

解题步骤 5.2.4.3.4

从 $- (x) - (y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (x + y)}{y - x}$

解题步骤 5.2.4.3.5

化简表达式。

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解题步骤 5.2.4.3.5.1

将 $- (x + y)$ 重写为 $- 1 (x + y)$ 。

$y' = \frac{- 1 (x + y)}{y - x}$

解题步骤 5.2.4.3.5.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{x + y}{y - x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + y}{y - x}$

微积分学 示例

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