微积分学示例

$\int \frac{4 t^{3} - t^{2} + 16 t}{t^{2} + 4} d t$

解题步骤 1

用 $4 t^{3} - t^{2} + 16 t$ 除以 $t^{2} + 4$ 。

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解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项 $4 t^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $t^{2}$ 。

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 t^{3} + 0 + 16 t$ 中的所有符号

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

$t^{2}$

$0$

解题步骤 1.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

						$4 t$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$

解题步骤 1.7

将被除数中的最高阶项 $- t^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $t^{2}$ 。

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$

解题步骤 1.8

将新的商式项乘以除数。

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							-	$t^{2}$	+	$0$	-	$4$

解题步骤 1.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- t^{2} + 0 - 4$ 中的所有符号

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							+	$t^{2}$	-	$0$	+	$4$

解题步骤 1.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							+	$t^{2}$	-	$0$	+	$4$
											+	$4$

解题步骤 1.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int 4 t - 1 + \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 4 t d t + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int t d t + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

解题步骤 4

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$4 (\frac{1}{2} t^{2} + C) - t + C + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

解题步骤 7

由于 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{t^{2} + 4} d t$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

将 $t^{2}$ 和 $4$ 重新排序。

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{4 + t^{2}} d t$

解题步骤 8.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{2^{2} + t^{2}} d t$

解题步骤 9

$\frac{1}{2^{2} + t^{2}}$ 对 $t$ 的积分为 $\frac{1}{2} \arctan (\frac{t}{2}) + C$ 。

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{t}{2}) + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\arctan (\frac{t}{2})$ 。

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 (\frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2} + C)$

解题步骤 10.2

化简。

$2 t^{2} - t + 4 \frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2} + C$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

组合 $4$ 和 $\frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2}$ 。

$2 t^{2} - t + \frac{4 \arctan (\frac{t}{2})}{2} + C$

解题步骤 10.3.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.2.1

从 $4 \arctan (\frac{t}{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2} + C$

解题步骤 10.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2 (1)} + C$

解题步骤 10.3.2.2.2

约去公因数。

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2 \cdot 1} + C$

解题步骤 10.3.2.2.3

重写表达式。

$2 t^{2} - t + \frac{2 \arctan (\frac{t}{2})}{1} + C$

解题步骤 10.3.2.2.4

用 $2 \arctan (\frac{t}{2})$ 除以 $1$ 。

$2 t^{2} - t + 2 \arctan (\frac{t}{2}) + C$

解题步骤 10.4

重新排序项。

$2 t^{2} - t + 2 \arctan (\frac{1}{2} t) + C$

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