微积分学示例

$\frac{x^{2}}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

将 $\frac{x^{2}}{\sqrt{x}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\int x^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.2.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{2 - \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.2.2.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.2.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.2.2.4

在公分母上合并分子。

$\int x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d x$

解题步骤 4.2.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int x^{\frac{4 - 1}{2}} d x$

解题步骤 4.2.2.5.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\int x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 6

答案是函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

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