微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + x^{- 2}}{3 x^{- 2} + 1}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2} + 1}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2} + 1}$

解题步骤 3

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2} + 1}$

解题步骤 4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2} + 1}$

解题步骤 5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{5 + 0}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2} + 1}$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{5 + 0}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 6.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5 + 0}{3 lim_{x \to \infty} x^{- 2} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{5 + 0}{3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 8

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{5 + 0}{3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 9

计算极限值。

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解题步骤 9.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{5 + 0}{3 \cdot 0 + 1}$

解题步骤 9.2

化简答案。

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解题步骤 9.2.1

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5}{3 \cdot 0 + 1}$

解题步骤 9.2.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.2.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{5}{0 + 1}$

解题步骤 9.2.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{5}{1}$

解题步骤 9.2.3

用 $5$ 除以 $1$ 。

$5$

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