微积分学示例

$3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 1

将 $3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 3 \sqrt{x} d x + \int - 2 \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 5

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \sqrt{x} d x + \int - 2 \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 6

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 2 \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 8

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 \int \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 9

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 \int x^{\frac{1}{3}} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简。

$3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 11.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 11.2.3

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 11.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 11.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 11.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 11.2.3.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 11.2.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 \cdot 3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 11.2.5

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 11.2.6

约去 $- 6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.6.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 3)}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 11.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.6.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2} x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 11.2.6.2.2

约去公因数。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2} x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 11.2.6.2.3

重写表达式。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 11.2.7

将负号移到分数的前面。

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = 3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C$

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