微积分学示例

$y = \frac{4}{{(x^{3} + 9)}^{5}}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4}{{(x^{3} + 9)}^{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{3} + 9)}^{5}}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{3} + 9)}^{5}}]$

解题步骤 1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.2.1

将 $\frac{1}{{(x^{3} + 9)}^{5}}$ 重写为 ${({(x^{3} + 9)}^{5})}^{- 1}$ 。

$4 \frac{d}{d x} [{({(x^{3} + 9)}^{5})}^{- 1}]$

解题步骤 1.2.2

将 ${({(x^{3} + 9)}^{5})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 9)}^{5 \cdot - 1}]$

解题步骤 1.2.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 9)}^{- 5}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 5}$ 且 $g (x) = x^{3} + 9$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3} + 9$ 。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 5}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 9])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 5$ 。

$4 (- 5 u^{- 6} \frac{d}{d x} [x^{3} + 9])$

解题步骤 2.3

使用 $x^{3} + 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (- 5 {(x^{3} + 9)}^{- 6} \frac{d}{d x} [x^{3} + 9])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $- 5$ 乘以 $4$ 。

$- 20 ({(x^{3} + 9)}^{- 6} \frac{d}{d x} [x^{3} + 9])$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x^{3} + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$- 20 {(x^{3} + 9)}^{- 6} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 20 {(x^{3} + 9)}^{- 6} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 3.4

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 20 {(x^{3} + 9)}^{- 6} (3 x^{2} + 0)$

解题步骤 3.5

化简表达式。

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解题步骤 3.5.1

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$- 20 {(x^{3} + 9)}^{- 6} (3 x^{2})$

解题步骤 3.5.2

将 $3$ 乘以 $- 20$ 。

$- 60 {(x^{3} + 9)}^{- 6} x^{2}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 60 \frac{1}{{(x^{3} + 9)}^{6}} x^{2}$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

组合 $- 60$ 和 $\frac{1}{{(x^{3} + 9)}^{6}}$ 。

$\frac{- 60}{{(x^{3} + 9)}^{6}} x^{2}$

解题步骤 4.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{60}{{(x^{3} + 9)}^{6}} x^{2}$

解题步骤 4.2.3

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{60}{{(x^{3} + 9)}^{6}}$ 。

$- \frac{x^{2} \cdot 60}{{(x^{3} + 9)}^{6}}$

解题步骤 4.2.4

将 $60$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$- \frac{60 x^{2}}{{(x^{3} + 9)}^{6}}$

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