微积分学示例

$x^{4} (x - 2) (x + 3)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4} (x - 2)$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

$x^{4} (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$x^{4} (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{4} (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

解题步骤 1.2.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{4} (x - 2) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

解题步骤 1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x^{4} (x - 2) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

解题步骤 1.2.4.2

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

解题步骤 1.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 1.4

求微分。

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解题步骤 1.4.1

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 1.4.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 1.4.4

化简表达式。

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解题步骤 1.4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 1.4.4.2

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 1.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + (x - 2) (4 x^{3}))$

解题步骤 1.4.6

将 $4$ 移到 $x - 2$ 的左侧。

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + 4 \cdot (x - 2) x^{3})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + 4 (x - 2) x^{3})$

解题步骤 1.5.2

运用分配律。

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + (4 x + 4 \cdot - 2) x^{3})$

解题步骤 1.5.3

运用分配律。

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + 4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.4

运用分配律。

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) x^{4} + (x + 3) (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.5

运用分配律。

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + (x + 3) (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.6

运用分配律。

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.7

运用分配律。

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.8

合并项。

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解题步骤 1.5.8.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.8.1.1

将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.8.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{4} x^{1} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.8.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{4 + 1} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.8.1.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$x^{5} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.8.2

将 $- 2$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$x^{5} - 2 \cdot x^{4} + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.8.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.5.8.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.5.8.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{1} x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.8.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{1 + 4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.8.3.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.8.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.5.8.4.1

移动 $x^{3}$ 。

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 (x^{3} x)) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.8.4.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.8.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 (x^{3} x^{1})) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.8.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x^{3 + 1}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.8.4.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x^{4}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.8.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 (x^{1} x^{4}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.8.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{1 + 4} + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.8.7

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.8.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.5.8.8.1

移动 $x^{3}$ 。

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 (x^{3} x)) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.8.8.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.8.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 (x^{3} x^{1})) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.8.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x^{3 + 1}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.8.8.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x^{4}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.8.9

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.8.10

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} + x (- 8 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.8.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 (x^{1} x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.8.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{1 + 3} + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.8.13

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

解题步骤 1.5.8.14

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} + 3 (- 8 x^{3})$

解题步骤 1.5.8.15

将 $- 8$ 乘以 $3$ 。

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} - 24 x^{3}$

解题步骤 1.5.8.16

从 $12 x^{4}$ 中减去 $8 x^{4}$ 。

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 24 x^{3}$

解题步骤 1.5.8.17

将 $x^{5}$ 和 $4 x^{5}$ 相加。

$x^{5} - 2 x^{4} + 5 x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{4} - 24 x^{3}$

解题步骤 1.5.8.18

将 $3 x^{4}$ 和 $4 x^{4}$ 相加。

$x^{5} - 2 x^{4} + 5 x^{5} + 7 x^{4} - 24 x^{3}$

解题步骤 1.5.8.19

将 $x^{5}$ 和 $5 x^{5}$ 相加。

$6 x^{5} - 2 x^{4} + 7 x^{4} - 24 x^{3}$

解题步骤 1.5.8.20

将 $- 2 x^{4}$ 和 $7 x^{4}$ 相加。

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{3}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$f'' (x) = 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

解题步骤 2.2.3

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$f'' (x) = 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f'' (x) = 30 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = 30 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

解题步骤 2.3.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 24 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 24 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{3}$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 24 (3 x^{2})$

解题步骤 2.4.3

将 $3$ 乘以 $- 24$ 。

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 72 x^{2}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

$f' (x) = x^{4} (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 3) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$f' (x) = x^{4} (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = x^{4} (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (3)) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

解题步骤 4.1.2.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = x^{4} (x - 2) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

解题步骤 4.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = x^{4} (x - 2) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

解题步骤 4.1.2.4.2

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

解题步骤 4.1.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

解题步骤 4.1.4

求微分。

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解题步骤 4.1.4.1

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

解题步骤 4.1.4.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

解题步骤 4.1.4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.1.4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

解题步骤 4.1.4.4.2

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

解题步骤 4.1.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + (x - 2) (4 x^{3}))$

解题步骤 4.1.4.6

将 $4$ 移到 $x - 2$ 的左侧。

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + 4 \cdot ((x - 2) x^{3}))$

解题步骤 4.1.5

化简。

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解题步骤 4.1.5.1

运用分配律。

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + 4 (x - 2) x^{3})$

解题步骤 4.1.5.2

运用分配律。

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + (4 x + 4 \cdot - 2) x^{3})$

解题步骤 4.1.5.3

运用分配律。

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + 4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.4

运用分配律。

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) x^{4} + (x + 3) (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.5

运用分配律。

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + (x + 3) (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.6

运用分配律。

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.7

运用分配律。

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.8

合并项。

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解题步骤 4.1.5.8.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.5.8.1.1

将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.5.8.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.8.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = x^{4 + 1} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.8.1.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = x^{5} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.8.2

将 $- 2$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.8.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 4.1.5.8.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{1 + 4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.8.3.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.8.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.5.8.4.1

移动 $x^{3}$ 。

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 (x^{3} x)) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.8.4.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.5.8.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 (x^{3} x)) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.8.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x^{3 + 1}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.8.4.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x^{4}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.8.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 (x \cdot x^{4}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.8.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{1 + 4} + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.8.7

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.8.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.5.8.8.1

移动 $x^{3}$ 。

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 (x^{3} x)) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.8.8.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.5.8.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 (x^{3} x)) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.8.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x^{3 + 1}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.8.8.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x^{4}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.8.9

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.8.10

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} + x (- 8 x^{3}) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.8.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 (x \cdot x^{3}) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.8.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{1 + 3} + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.8.13

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

解题步骤 4.1.5.8.14

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} + 3 (- 8 x^{3})$

解题步骤 4.1.5.8.15

将 $- 8$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} - 24 x^{3}$

解题步骤 4.1.5.8.16

从 $12 x^{4}$ 中减去 $8 x^{4}$ 。

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 24 x^{3}$

解题步骤 4.1.5.8.17

将 $x^{5}$ 和 $4 x^{5}$ 相加。

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + 5 x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{4} - 24 x^{3}$

解题步骤 4.1.5.8.18

将 $3 x^{4}$ 和 $4 x^{4}$ 相加。

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + 5 x^{5} + 7 x^{4} - 24 x^{3}$

解题步骤 4.1.5.8.19

将 $x^{5}$ 和 $5 x^{5}$ 相加。

$f' (x) = 6 x^{5} - 2 x^{4} + 7 x^{4} - 24 x^{3}$

解题步骤 4.1.5.8.20

将 $- 2 x^{4}$ 和 $7 x^{4}$ 相加。

$f' (x) = 6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ 。

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3} = 0$

解题步骤 5.2

从 $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $6 x^{5}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} (6 x^{2}) + 5 x^{4} - 24 x^{3} = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $5 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} (6 x^{2}) + x^{3} (5 x) - 24 x^{3} = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $- 24 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} (6 x^{2}) + x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot - 24 = 0$

解题步骤 5.2.4

从 $x^{3} (6 x^{2}) + x^{3} (5 x)$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} (6 x^{2} + 5 x) + x^{3} \cdot - 24 = 0$

解题步骤 5.2.5

从 $x^{3} (6 x^{2} + 5 x) + x^{3} \cdot - 24$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} (6 x^{2} + 5 x - 24) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{3} = 0$

$6 x^{2} + 5 x - 24 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x^{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $x^{3}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{3} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $x^{3} = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 5.4.2.2

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 5.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 5.4.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 $6 x^{2} + 5 x - 24$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $6 x^{2} + 5 x - 24$ 设为等于 $0$ 。

$6 x^{2} + 5 x - 24 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $6 x^{2} + 5 x - 24 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.5.2.2

将 $a = 6$ 、 $b = 5$ 和 $c = - 24$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 24)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.5.2.3

化简。

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解题步骤 5.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.3.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 6 \cdot - 24}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 6 \cdot - 24$ 。

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解题步骤 5.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24 \cdot - 24}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.5.2.3.1.2.2

将 $- 24$ 乘以 $- 24$ 。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 576}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.5.2.3.1.3

将 $25$ 和 $576$ 相加。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{601}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{601}}{12}$

解题步骤 5.5.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $x^{3} (6 x^{2} + 5 x - 24) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$30 {(0)}^{4} + 20 {(0)}^{3} - 72 {(0)}^{2}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$30 \cdot 0 + 20 {(0)}^{3} - 72 {(0)}^{2}$

解题步骤 9.1.2

将 $30$ 乘以 $0$ 。

$0 + 20 {(0)}^{3} - 72 {(0)}^{2}$

解题步骤 9.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 20 \cdot 0 - 72 {(0)}^{2}$

解题步骤 9.1.4

将 $20$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 - 72 {(0)}^{2}$

解题步骤 9.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 0 - 72 \cdot 0$

解题步骤 9.1.6

将 $- 72$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 0$

解题步骤 9.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}) \cup (- \frac{5 + \sqrt{601}}{12}, 0) \cup (0, - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}) \cup (- \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12})$ 内的任一数字（例如 $- 5$ ）代入一阶导数 $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $- 5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 5) = 6 {(- 5)}^{5} + 5 {(- 5)}^{4} - 24 {(- 5)}^{3}$

解题步骤 10.2.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.2.1.1

对 $- 5$ 进行 $5$ 次方运算。

$f' (- 5) = 6 \cdot - 3125 + 5 {(- 5)}^{4} - 24 {(- 5)}^{3}$

解题步骤 10.2.2.1.2

将 $6$ 乘以 $- 3125$ 。

$f' (- 5) = - 18750 + 5 {(- 5)}^{4} - 24 {(- 5)}^{3}$

解题步骤 10.2.2.1.3

对 $- 5$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- 5) = - 18750 + 5 \cdot 625 - 24 {(- 5)}^{3}$

解题步骤 10.2.2.1.4

将 $5$ 乘以 $625$ 。

$f' (- 5) = - 18750 + 3125 - 24 {(- 5)}^{3}$

解题步骤 10.2.2.1.5

对 $- 5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 5) = - 18750 + 3125 - 24 \cdot - 125$

解题步骤 10.2.2.1.6

将 $- 24$ 乘以 $- 125$ 。

$f' (- 5) = - 18750 + 3125 + 3000$

解题步骤 10.2.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 10.2.2.2.1

将 $- 18750$ 和 $3125$ 相加。

$f' (- 5) = - 15625 + 3000$

解题步骤 10.2.2.2.2

将 $- 15625$ 和 $3000$ 相加。

$f' (- 5) = - 12625$

解题步骤 10.2.2.3

最终答案为 $- 12625$ 。

$- 12625$

解题步骤 10.3

将区间 $(- \frac{5 + \sqrt{601}}{12}, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 1$ ）代入一阶导数 $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.3.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = 6 {(- 1)}^{5} + 5 {(- 1)}^{4} - 24 {(- 1)}^{3}$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

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解题步骤 10.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.3.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$f' (- 1) = 6 \cdot - 1 + 5 {(- 1)}^{4} - 24 {(- 1)}^{3}$

解题步骤 10.3.2.1.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = - 6 + 5 {(- 1)}^{4} - 24 {(- 1)}^{3}$

解题步骤 10.3.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- 1) = - 6 + 5 \cdot 1 - 24 {(- 1)}^{3}$

解题步骤 10.3.2.1.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$f' (- 1) = - 6 + 5 - 24 {(- 1)}^{3}$

解题步骤 10.3.2.1.5

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 1) = - 6 + 5 - 24 \cdot - 1$

解题步骤 10.3.2.1.6

将 $- 24$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = - 6 + 5 + 24$

解题步骤 10.3.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 10.3.2.2.1

将 $- 6$ 和 $5$ 相加。

$f' (- 1) = - 1 + 24$

解题步骤 10.3.2.2.2

将 $- 1$ 和 $24$ 相加。

$f' (- 1) = 23$

解题步骤 10.3.2.3

最终答案为 $23$ 。

$23$

解题步骤 10.4

将区间 $(0, - \frac{5 - \sqrt{601}}{12})$ 内的任一数字（例如 $1$ ）代入一阶导数 $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.4.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = 6 {(1)}^{5} + 5 {(1)}^{4} - 24 {(1)}^{3}$

解题步骤 10.4.2

化简结果。

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解题步骤 10.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.4.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 6 \cdot 1 + 5 {(1)}^{4} - 24 {(1)}^{3}$

解题步骤 10.4.2.1.2

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 6 + 5 {(1)}^{4} - 24 {(1)}^{3}$

解题步骤 10.4.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 6 + 5 \cdot 1 - 24 {(1)}^{3}$

解题步骤 10.4.2.1.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 6 + 5 - 24 {(1)}^{3}$

解题步骤 10.4.2.1.5

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 6 + 5 - 24 \cdot 1$

解题步骤 10.4.2.1.6

将 $- 24$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 6 + 5 - 24$

解题步骤 10.4.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 10.4.2.2.1

将 $6$ 和 $5$ 相加。

$f' (1) = 11 - 24$

解题步骤 10.4.2.2.2

从 $11$ 中减去 $24$ 。

$f' (1) = - 13$

解题步骤 10.4.2.3

最终答案为 $- 13$ 。

$- 13$

解题步骤 10.5

将区间 $(- \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, \infty)$ 内的任一数字（例如 $4$ ）代入一阶导数 $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.5.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = 6 {(4)}^{5} + 5 {(4)}^{4} - 24 {(4)}^{3}$

解题步骤 10.5.2

化简结果。

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解题步骤 10.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.5.2.1.1

对 $4$ 进行 $5$ 次方运算。

$f' (4) = 6 \cdot 1024 + 5 {(4)}^{4} - 24 {(4)}^{3}$

解题步骤 10.5.2.1.2

将 $6$ 乘以 $1024$ 。

$f' (4) = 6144 + 5 {(4)}^{4} - 24 {(4)}^{3}$

解题步骤 10.5.2.1.3

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (4) = 6144 + 5 \cdot 256 - 24 {(4)}^{3}$

解题步骤 10.5.2.1.4

将 $5$ 乘以 $256$ 。

$f' (4) = 6144 + 1280 - 24 {(4)}^{3}$

解题步骤 10.5.2.1.5

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (4) = 6144 + 1280 - 24 \cdot 64$

解题步骤 10.5.2.1.6

将 $- 24$ 乘以 $64$ 。

$f' (4) = 6144 + 1280 - 1536$

解题步骤 10.5.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 10.5.2.2.1

将 $6144$ 和 $1280$ 相加。

$f' (4) = 7424 - 1536$

解题步骤 10.5.2.2.2

从 $7424$ 中减去 $1536$ 。

$f' (4) = 5888$

解题步骤 10.5.2.3

最终答案为 $5888$ 。

$5888$

解题步骤 10.6

由于一阶导数在 $x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ 周围从负号变为正号，因此 $x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ 是极小值。

$x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ 是一个极小值

解题步骤 10.7

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从正号变为负号，因此 $x = 0$ 是极大值。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 10.8

由于一阶导数在 $x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ 周围从负号变为正号，因此 $x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ 是极小值。

$x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ 是一个极小值

解题步骤 10.9

这些是 $f (x) = x^{4} (x - 2) (x + 3)$ 的局部极值。

$x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ 是一个极小值

$x = 0$ 是一个极大值

$x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ 是一个极小值

$x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ 是一个极小值

$x = 0$ 是一个极大值

$x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ 是一个极小值

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例