微积分学示例

$\frac{1}{\sqrt{g (2 x)}}$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{g (2 x)}$ 重写成 ${g (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{g (2 x)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{1}{{g (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${({g (2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{({g (2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 1.3

将 ${({g (2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [{g (2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

解题步骤 1.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [{g (2 x)}^{\frac{- 1}{2}}]$

解题步骤 1.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d}{d x} [{g (2 x)}^{- \frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = g (2 x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $g (2 x)$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [g (2 x)]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [g (2 x)]$

解题步骤 2.3

使用 $g (2 x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2} {g (2 x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [g (2 x)]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} {g (2 x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [g (2 x)]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} {g (2 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [g (2 x)]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2} {g (2 x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [g (2 x)]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{2} {g (2 x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [g (2 x)]$

解题步骤 6.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{1}{2} {g (2 x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [g (2 x)]$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2} {g (2 x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [g (2 x)]$

解题步骤 8

组合 ${g (2 x)}^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{{g (2 x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [g (2 x)]$

解题步骤 9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${g (2 x)}^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{2 {g (2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [g (2 x)]$

解题步骤 10

组合 $- \frac{1}{2 {g (2 x)}^{\frac{3}{2}}}$ 和 $\frac{d}{d x} [g (2 x)]$ 。

$- \frac{\frac{d}{d x} [g (2 x)]}{2 {g (2 x)}^{\frac{3}{2}}}$

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