微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int x^{- 2} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$- x^{- 1} + C + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- x^{- 1} + C - \int \frac{2}{x^{4}} d x$

解题步骤 7

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- x^{- 1} + C - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- x^{- 1} + C - 2 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

解题步骤 8.2

通过将 $x^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- x^{- 1} + C - 2 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

解题步骤 8.3

将 ${(x^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- x^{- 1} + C - 2 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

解题步骤 8.3.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- x^{- 1} + C - 2 \int x^{- 4} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{- 4}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 。

$- x^{- 1} + C - 2 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

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解题步骤 10.1.1

组合 $x^{- 3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- x^{- 1} + C - 2 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

解题步骤 10.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$- x^{- 1} + C - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

解题步骤 10.2

化简。

$- \frac{1}{x} - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{1}{x} + 2 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

解题步骤 10.3.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{3 x^{3}}$ 。

$- \frac{1}{x} + \frac{2}{3 x^{3}} + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{1}{x} + \frac{2}{3 x^{3}} + C$

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