微积分学示例

$\int 4 x (5^{x^{2}}) d x$

解题步骤 1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int x \cdot (5^{x^{2}}) d x$

解题步骤 2

使 $u = x^{2}$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$4 \int 5^{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 3

组合 $5^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$4 \int \frac{5^{u}}{2} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{2} \int 5^{u} d u)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{2} \int 5^{u} d u$

解题步骤 5.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int 5^{u} d u$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 5^{u} d u$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 5^{u} d u$

解题步骤 5.2.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{1} \int 5^{u} d u$

解题步骤 5.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 \int 5^{u} d u$

解题步骤 6

$5^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ 。

$2 (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $2 (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C)$ 重写为 $2 \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{u} + C$ 。

$2 \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{u} + C$

解题步骤 7.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{\ln (5)}$ 。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot 5^{u} + C$

解题步骤 8

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot 5^{x^{2}} + C$

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