微积分学示例

$f (x) = - \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{x^{3}} d x$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 4.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \int x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- \int x^{- 3} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$- (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简。

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解题步骤 6.1.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

解题步骤 6.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$- (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

解题步骤 6.2

化简。

$- - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 6.3.2

将 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 7

答案是函数 $f (x) = - \frac{1}{x^{3}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{2 x^{2}} + C$

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