微积分学示例

$y = (x^{2} + 5) (3 x + 1)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + 5) (3 x + 1))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 5$ 且 $g (x) = 3 x + 1$ 。

$(x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 1] + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $3 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$(x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

解题步骤 3.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x^{2} + 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{2} + 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

解题步骤 3.2.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} + 5) (3 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

解题步骤 3.2.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{2} + 5) (3 + 0) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

解题步骤 3.2.6

化简表达式。

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解题步骤 3.2.6.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$(x^{2} + 5) \cdot 3 + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

解题步骤 3.2.6.2

将 $3$ 移到 $x^{2} + 5$ 的左侧。

$3 \cdot (x^{2} + 5) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

解题步骤 3.2.7

根据加法法则， $x^{2} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 3.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 3.2.9

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (2 x + 0)$

解题步骤 3.2.10

化简表达式。

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解题步骤 3.2.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (2 x)$

解题步骤 3.2.10.2

将 $2$ 移到 $3 x + 1$ 的左侧。

$3 (x^{2} + 5) + 2 \cdot (3 x + 1) x$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$3 x^{2} + 3 \cdot 5 + 2 (3 x + 1) x$

解题步骤 3.3.2

运用分配律。

$3 x^{2} + 3 \cdot 5 + (2 (3 x) + 2 \cdot 1) x$

解题步骤 3.3.3

运用分配律。

$3 x^{2} + 3 \cdot 5 + 2 (3 x) x + 2 \cdot 1 x$

解题步骤 3.3.4

合并项。

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解题步骤 3.3.4.1

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$3 x^{2} + 15 + 2 (3 x) x + 2 \cdot 1 x$

解题步骤 3.3.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$3 x^{2} + 15 + 6 x \cdot x + 2 \cdot 1 x$

解题步骤 3.3.4.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 x^{2} + 15 + 6 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x$

解题步骤 3.3.4.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 x^{2} + 15 + 6 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x$

解题步骤 3.3.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 x^{2} + 15 + 6 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x$

解题步骤 3.3.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 x^{2} + 15 + 6 x^{2} + 2 \cdot 1 x$

解题步骤 3.3.4.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} + 15 + 6 x^{2} + 2 x$

解题步骤 3.3.4.8

将 $3 x^{2}$ 和 $6 x^{2}$ 相加。

$9 x^{2} + 15 + 2 x$

解题步骤 3.3.5

重新排序项。

$9 x^{2} + 2 x + 15$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 9 x^{2} + 2 x + 15$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{2} + 2 x + 15$

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