微积分学示例

$f (x) = e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 1.3

因为 $100 e$ 对于 $x$ 是常数，所以 $100 e$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$e^{x} + 0 + 8 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$e^{x} + 0 + 8 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 1.4.3

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$e^{x} + 0 + 32 x^{3} + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 1.5

因为 $49$ 对于 $x$ 是常数，所以 $49$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{x} + 0 + 32 x^{3} + 0$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

合并项。

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解题步骤 1.6.1.1

将 $e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$e^{x} + 32 x^{3} + 0$

解题步骤 1.6.1.2

将 $e^{x} + 32 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$e^{x} + 32 x^{3}$

解题步骤 1.6.2

重新排序项。

$f' (x) = 32 x^{3} + e^{x}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $32 x^{3} + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [32 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $32$ 对于 $x$ 是常数，所以 $32 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$32 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$32 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $32$ 。

$96 x^{2} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = 96 x^{2} + e^{x}$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $96 x^{2} + e^{x}$ 。

$96 x^{2} + e^{x}$

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