微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) {(4 x - 1)}^{2}}{{(2 x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x {(4 x - 1)}^{2} + 1 {(4 x - 1)}^{2}}{{(2 x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.2

将 ${(4 x - 1)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x {(4 x - 1)}^{2} + {(4 x - 1)}^{2}}{{(2 x + 3)}^{3}}$

解题步骤 2

分子分母同时除以分母中 $x$ 的最高次幂。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{{(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

解题步骤 3.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

解题步骤 3.4

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

解题步骤 3.5

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

解题步骤 3.6

使用极限幂法则把 ${(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

解题步骤 3.7

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

解题步骤 3.8

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

解题步骤 3.9

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.9.1

约去公因数。

解题步骤 3.9.2

重写表达式。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

解题步骤 3.10

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

解题步骤 4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

使用极限幂法则把 ${(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

解题步骤 5.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

解题步骤 5.3

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

解题步骤 5.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

解题步骤 5.4.2

重写表达式。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

解题步骤 5.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

解题步骤 6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

使用极限幂法则把 ${(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

解题步骤 7.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{3}}$

解题步骤 7.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{3}}$

解题步骤 7.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{3}}$

解题步骤 7.4.2

重写表达式。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{3}}$

解题步骤 7.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{3}}$

解题步骤 7.6

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{3}}$

解题步骤 8

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

非零常数乘以无穷大结果为无穷大。

$\frac{\infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

解题步骤 9.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\infty \cdot {(4 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

解题步骤 9.1.3

从 $4$ 中减去 $0$ 。

$\frac{\infty \cdot 4^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

解题步骤 9.1.4

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\infty \cdot 16 + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

解题步骤 9.1.5

非零常数乘以无穷大结果为无穷大。

$\frac{\infty + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

解题步骤 9.1.6

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\infty + {(4 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

解题步骤 9.1.7

从 $4$ 中减去 $0$ 。

$\frac{\infty + 4^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

解题步骤 9.1.8

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\infty + 16}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

解题步骤 9.1.9

无穷大加上或减去一个数结果为无穷大。

$\frac{\infty}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\infty}{{(2 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\infty}{{(2 + 0)}^{3}}$

解题步骤 9.2.3

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\infty}{2^{3}}$

解题步骤 9.2.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{\infty}{8}$

解题步骤 9.3

无穷大除以任何有穷数和非零数，其结果为无穷大。

$\infty$

微积分学 示例

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