微积分学示例

$f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则，

$- \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2

计算

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为

$- \frac{3}{20}$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- \frac{3}{20} x^{5}$ 对

$x$ 的导数是

$- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 5$ 。

$- \frac{3}{20} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.3

将

$5$ 乘以

$- 1$ 。

$- 5 (\frac{3}{20}) x^{4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.4

组合

$- 5$ 和

$\frac{3}{20}$ 。

$\frac{- 5 \cdot 3}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.5

将

$- 5$ 乘以

$3$ 。

$\frac{- 15}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.6

组合

$\frac{- 15}{20}$ 和

$x^{4}$ 。

$\frac{- 15 x^{4}}{20} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.7

约去

$- 15$ 和

$20$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.7.1

从

$- 15 x^{4}$ 中分解出因数

$5$ 。

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{20} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.7.2.1

从

$20$ 中分解出因数

$5$ 。

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (4)} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{- 3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

解题步骤 1.1.3

计算

$\frac{d}{d x} [11 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为

$11$ 对于

$x$ 是常数，所以

$11 x^{3}$ 对

$x$ 的导数是

$11 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- \frac{3 x^{4}}{4} + 11 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 3$ 。

$- \frac{3 x^{4}}{4} + 11 (3 x^{2})$

解题步骤 1.1.3.3

将

$3$ 乘以

$11$ 。

$f' (x) = - \frac{3 x^{4}}{4} + 33 x^{2}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则，

$- \frac{3 x^{4}}{4} + 33 x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2

计算

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为

$- \frac{3}{4}$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- \frac{3 x^{4}}{4}$ 对

$x$ 的导数是

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 4$ 。

$- \frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.3

将

$4$ 乘以

$- 1$ 。

$- 4 (\frac{3}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.4

组合

$- 4$ 和

$\frac{3}{4}$ 。

$\frac{- 4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.5

将

$- 4$ 乘以

$3$ 。

$\frac{- 12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.6

组合

$\frac{- 12}{4}$ 和

$x^{3}$ 。

$\frac{- 12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.7

约去

$- 12$ 和

$4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.7.1

从

$- 12 x^{3}$ 中分解出因数

$4$ 。

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.2.7.2.1

从

$4$ 中分解出因数

$4$ 。

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{- 3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.7.2.4

用

$- 3 x^{3}$ 除以

$1$ 。

$- 3 x^{3} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

解题步骤 1.2.3

计算

$\frac{d}{d x} [33 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为

$33$ 对于

$x$ 是常数，所以

$33 x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$33 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 3 x^{3} + 33 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$- 3 x^{3} + 33 (2 x)$

解题步骤 1.2.3.3

将

$2$ 乘以

$33$ 。

$f'' (x) = - 3 x^{3} + 66 x$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对

$x$ 的二阶导数是

$- 3 x^{3} + 66 x$ 。

$- 3 x^{3} + 66 x$

解题步骤 2

使二阶导数等于

$0$ ，然后求解方程

$- 3 x^{3} + 66 x = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于

$0$ 。

$- 3 x^{3} + 66 x = 0$

解题步骤 2.2

从

$- 3 x^{3} + 66 x$ 中分解出因数

$- 3 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

从

$- 3 x^{3}$ 中分解出因数

$- 3 x$ 。

$- 3 x \cdot x^{2} + 66 x = 0$

解题步骤 2.2.2

从

$66 x$ 中分解出因数

$- 3 x$ 。

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 22 = 0$

解题步骤 2.2.3

从

$- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 22)$ 中分解出因数

$- 3 x$ 。

$- 3 x (x^{2} - 22) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$x = 0$

$x^{2} - 22 = 0$

解题步骤 2.4

将

$x$ 设为等于

$0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将

$x^{2} - 22$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将

$x^{2} - 22$ 设为等于

$0$ 。

$x^{2} - 22 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解

$x$ 的

$x^{2} - 22 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

在等式两边都加上

$22$ 。

$x^{2} = 22$

解题步骤 2.5.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{22}$

解题步骤 2.5.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.5.2.3.1

首先，利用

$\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{22}$

解题步骤 2.5.2.3.2

下一步，使用

$\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{22}$

解题步骤 2.5.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{22}, - \sqrt{22}$

解题步骤 2.6

最终解为使

$- 3 x (x^{2} - 22) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \sqrt{22}, - \sqrt{22}$

解题步骤 3

求二阶导数为

$0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将

$0$ 代入

$f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ 以求

$y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的

$0$ 替换变量

$x$ 。

$f (0) = - \frac{3}{20} \cdot {(0)}^{5} + 11 {(0)}^{3}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$f (0) = - \frac{3}{20} \cdot 0 + 11 {(0)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.1.2

乘以

$- \frac{3}{20} \cdot 0$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.2.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$f (0) = 0 (\frac{3}{20}) + 11 {(0)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.1.2.2

将

$0$ 乘以

$\frac{3}{20}$ 。

$f (0) = 0 + 11 {(0)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.1.3

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$f (0) = 0 + 11 \cdot 0$

解题步骤 3.1.2.1.4

将

$11$ 乘以

$0$ 。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 3.1.2.2

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为

$0$ 。

$0$

解题步骤 3.2

通过将

$0$ 代入

$f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ 中求得的点为

$(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 3.3

将

$\sqrt{22}$ 代入

$f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ 以求

$y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的

$\sqrt{22}$ 替换变量

$x$ 。

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot {(\sqrt{22})}^{5} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将

${\sqrt{22}}^{5}$ 重写为

$\sqrt{22^{5}}$ 。

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot \sqrt{22^{5}} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2

对

$22$ 进行

$5$ 次方运算。

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot \sqrt{5153632} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.3

将

$5153632$ 重写为

$484^{2} \cdot 22$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1

从

$5153632$ 中分解出因数

$234256$ 。

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot \sqrt{234256 (22)} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.3.2

将

$234256$ 重写为

$484^{2}$ 。

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot \sqrt{484^{2} \cdot 22} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.4

从根式下提出各项。

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot (484 \sqrt{22}) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.5

约去

$4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.5.1

将

$- \frac{3}{20}$ 中前置负号移到分子中。

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 3}{20} \cdot (484 \sqrt{22}) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.5.2

从

$20$ 中分解出因数

$4$ 。

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 3}{4 (5)} \cdot (484 \sqrt{22}) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.5.3

从

$484 \sqrt{22}$ 中分解出因数

$4$ 。

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 3}{4 (5)} \cdot (4 (121 \sqrt{22})) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.5.4

约去公因数。

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 3}{4 \cdot 5} \cdot (4 (121 \sqrt{22})) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.5.5

重写表达式。

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 3}{5} \cdot (121 \sqrt{22}) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.6

组合

$121$ 和

$\frac{- 3}{5}$ 。

$f (\sqrt{22}) = \frac{121 \cdot - 3}{5} \cdot \sqrt{22} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.7

将

$121$ 乘以

$- 3$ 。

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 363}{5} \cdot \sqrt{22} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.8

组合

$\frac{- 363}{5}$ 和

$\sqrt{22}$ 。

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 363 \sqrt{22}}{5} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.9

将负号移到分数的前面。

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.10

将

${\sqrt{22}}^{3}$ 重写为

$\sqrt{22^{3}}$ 。

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 \sqrt{22^{3}}$

解题步骤 3.3.2.1.11

对

$22$ 进行

$3$ 次方运算。

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 \sqrt{10648}$

解题步骤 3.3.2.1.12

将

$10648$ 重写为

$22^{2} \cdot 22$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.12.1

从

$10648$ 中分解出因数

$484$ 。

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 \sqrt{484 (22)}$

解题步骤 3.3.2.1.12.2

将

$484$ 重写为

$22^{2}$ 。

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 \sqrt{22^{2} \cdot 22}$

解题步骤 3.3.2.1.13

从根式下提出各项。

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (22 \sqrt{22})$

解题步骤 3.3.2.1.14

将

$22$ 乘以

$11$ 。

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 242 \sqrt{22}$

解题步骤 3.3.2.2

要将

$242 \sqrt{22}$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{5}{5}$ 。

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 242 \sqrt{22} \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 3.3.2.3

合并分数。

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解题步骤 3.3.2.3.1

组合

$242 \sqrt{22}$ 和

$\frac{5}{5}$ 。

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + \frac{242 \sqrt{22} \cdot 5}{5}$

解题步骤 3.3.2.3.2

在公分母上合并分子。

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 363 \sqrt{22} + 242 \sqrt{22} \cdot 5}{5}$

解题步骤 3.3.2.4

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.4.1

将

$5$ 乘以

$242$ 。

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 363 \sqrt{22} + 1210 \sqrt{22}}{5}$

解题步骤 3.3.2.4.2

将

$- 363 \sqrt{22}$ 和

$1210 \sqrt{22}$ 相加。

$f (\sqrt{22}) = \frac{847 \sqrt{22}}{5}$

解题步骤 3.3.2.5

最终答案为

$\frac{847 \sqrt{22}}{5}$ 。

$\frac{847 \sqrt{22}}{5}$

解题步骤 3.4

通过将

$\sqrt{22}$ 代入

$f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ 中求得的点为

$(\sqrt{22}, \frac{847 \sqrt{22}}{5})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\sqrt{22}, \frac{847 \sqrt{22}}{5})$

解题步骤 3.5

将

$- \sqrt{22}$ 代入

$f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ 以求

$y$ 的值。

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解题步骤 3.5.1

使用表达式中的

$- \sqrt{22}$ 替换变量

$x$ 。

$f (- \sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot {(- \sqrt{22})}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.5.2

化简结果。

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解题步骤 3.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.1.1

对

$- \sqrt{22}$ 运用乘积法则。

$f (- \sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot ({(- 1)}^{5} {\sqrt{22}}^{5}) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.2

通过指数相加将

$- 1$ 乘以

${(- 1)}^{5}$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.2.1

移动

${(- 1)}^{5}$ 。

$f (- \sqrt{22}) = {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 (\frac{3}{20})) \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.2.2

将

${(- 1)}^{5}$ 乘以

$- 1$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.2.2.1

对

$- 1$ 进行

$1$ 次方运算。

$f (- \sqrt{22}) = {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) (\frac{3}{20})) \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.2.2.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \sqrt{22}) = {(- 1)}^{5 + 1} (\frac{3}{20}) \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.2.3

将

$5$ 和

$1$ 相加。

$f (- \sqrt{22}) = {(- 1)}^{6} (\frac{3}{20}) \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.3

对

$- 1$ 进行

$6$ 次方运算。

$f (- \sqrt{22}) = 1 (\frac{3}{20}) \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.4

将

$\frac{3}{20}$ 乘以

$1$ 。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.5

将

${\sqrt{22}}^{5}$ 重写为

$\sqrt{22^{5}}$ 。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot \sqrt{22^{5}} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.6

对

$22$ 进行

$5$ 次方运算。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot \sqrt{5153632} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.7

将

$5153632$ 重写为

$484^{2} \cdot 22$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.7.1

从

$5153632$ 中分解出因数

$234256$ 。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot \sqrt{234256 (22)} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.7.2

将

$234256$ 重写为

$484^{2}$ 。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot \sqrt{484^{2} \cdot 22} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.8

从根式下提出各项。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot (484 \sqrt{22}) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.9

约去

$4$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.9.1

从

$20$ 中分解出因数

$4$ 。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{4 (5)} \cdot (484 \sqrt{22}) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.9.2

从

$484 \sqrt{22}$ 中分解出因数

$4$ 。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{4 (5)} \cdot (4 (121 \sqrt{22})) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.9.3

约去公因数。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{4 \cdot 5} \cdot (4 (121 \sqrt{22})) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.9.4

重写表达式。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{5} \cdot (121 \sqrt{22}) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.10

组合

$121$ 和

$\frac{3}{5}$ 。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{121 \cdot 3}{5} \cdot \sqrt{22} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.11

将

$121$ 乘以

$3$ 。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363}{5} \cdot \sqrt{22} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.12

组合

$\frac{363}{5}$ 和

$\sqrt{22}$ 。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.13

对

$- \sqrt{22}$ 运用乘积法则。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{22}}^{3})$

解题步骤 3.5.2.1.14

对

$- 1$ 进行

$3$ 次方运算。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- {\sqrt{22}}^{3})$

解题步骤 3.5.2.1.15

将

${\sqrt{22}}^{3}$ 重写为

$\sqrt{22^{3}}$ 。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- \sqrt{22^{3}})$

解题步骤 3.5.2.1.16

对

$22$ 进行

$3$ 次方运算。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- \sqrt{10648})$

解题步骤 3.5.2.1.17

将

$10648$ 重写为

$22^{2} \cdot 22$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.17.1

从

$10648$ 中分解出因数

$484$ 。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- \sqrt{484 (22)})$

解题步骤 3.5.2.1.17.2

将

$484$ 重写为

$22^{2}$ 。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- \sqrt{22^{2} \cdot 22})$

解题步骤 3.5.2.1.18

从根式下提出各项。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- (22 \sqrt{22}))$

解题步骤 3.5.2.1.19

将

$22$ 乘以

$- 1$ 。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- 22 \sqrt{22})$

解题步骤 3.5.2.1.20

将

$- 22$ 乘以

$11$ 。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} - 242 \sqrt{22}$

解题步骤 3.5.2.2

要将

$- 242 \sqrt{22}$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{5}{5}$ 。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} - 242 \sqrt{22} \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 3.5.2.3

合并分数。

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解题步骤 3.5.2.3.1

组合

$- 242 \sqrt{22}$ 和

$\frac{5}{5}$ 。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + \frac{- 242 \sqrt{22} \cdot 5}{5}$

解题步骤 3.5.2.3.2

在公分母上合并分子。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22} - 242 \sqrt{22} \cdot 5}{5}$

解题步骤 3.5.2.4

化简分子。

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解题步骤 3.5.2.4.1

将

$5$ 乘以

$- 242$ 。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22} - 1210 \sqrt{22}}{5}$

解题步骤 3.5.2.4.2

从

$363 \sqrt{22}$ 中减去

$1210 \sqrt{22}$ 。

$f (- \sqrt{22}) = \frac{- 847 \sqrt{22}}{5}$

解题步骤 3.5.2.5

将负号移到分数的前面。

$f (- \sqrt{22}) = - \frac{847 \sqrt{22}}{5}$

解题步骤 3.5.2.6

最终答案为

$- \frac{847 \sqrt{22}}{5}$ 。

$- \frac{847 \sqrt{22}}{5}$

解题步骤 3.6

通过将

$- \sqrt{22}$ 代入

$f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ 中求得的点为

$(- \sqrt{22}, - \frac{847 \sqrt{22}}{5})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- \sqrt{22}, - \frac{847 \sqrt{22}}{5})$

解题步骤 3.7

确定可能是拐点的点。

$(0, 0), (\sqrt{22}, \frac{847 \sqrt{22}}{5}), (- \sqrt{22}, - \frac{847 \sqrt{22}}{5})$

解题步骤 4

分解

$(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - \sqrt{22}) \cup (- \sqrt{22}, 0) \cup (0, \sqrt{22}) \cup (\sqrt{22}, \infty)$

解题步骤 5

将区间

$(- \infty, - \sqrt{22})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的

$- 4.79041575$ 替换变量

$x$ 。

$f'' (- 4.79041575) = - 3 {(- 4.79041575)}^{3} + 66 (- 4.79041575)$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对

$- 4.79041575$ 进行

$3$ 次方运算。

$f'' (- 4.79041575) = - 3 \cdot - 109.93085918 + 66 (- 4.79041575)$

解题步骤 5.2.1.2

将

$- 3$ 乘以

$- 109.93085918$ 。

$f'' (- 4.79041575) = 329.79257756 + 66 (- 4.79041575)$

解题步骤 5.2.1.3

将

$66$ 乘以

$- 4.79041575$ 。

$f'' (- 4.79041575) = 329.79257756 - 316.16744014$

解题步骤 5.2.2

从

$329.79257756$ 中减去

$316.16744014$ 。

$f'' (- 4.79041575) = 13.62513741$

解题步骤 5.2.3

最终答案为

$13.62513741$ 。

$13.62513741$

解题步骤 5.3

在

$- 4.79041575$ 处，二阶导数为

$13.62513741$ 。由于其值为正，二阶导数在区间

$(- \infty, - \sqrt{22})$ 上递增。

因为

$f'' (x) > 0$ ，所以函数在

$(- \infty, - \sqrt{22})$ 上递增

因为

$f'' (x) > 0$ ，所以函数在

$(- \infty, - \sqrt{22})$ 上递增

解题步骤 6

将区间

$(- \sqrt{22}, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的

$- 2.34520787$ 替换变量

$x$ 。

$f'' (- 2.34520787) = - 3 {(- 2.34520787)}^{3} + 66 (- 2.34520787)$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对

$- 2.34520787$ 进行

$3$ 次方运算。

$f'' (- 2.34520787) = - 3 \cdot - 12.89864333 + 66 (- 2.34520787)$

解题步骤 6.2.1.2

将

$- 3$ 乘以

$- 12.89864333$ 。

$f'' (- 2.34520787) = 38.69593001 + 66 (- 2.34520787)$

解题步骤 6.2.1.3

将

$66$ 乘以

$- 2.34520787$ 。

$f'' (- 2.34520787) = 38.69593001 - 154.78372007$

解题步骤 6.2.2

从

$38.69593001$ 中减去

$154.78372007$ 。

$f'' (- 2.34520787) = - 116.08779005$

解题步骤 6.2.3

最终答案为

$- 116.08779005$ 。

$- 116.08779005$

解题步骤 6.3

在

$- 2.34520787$ ，二阶导数为

$- 116.08779005$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间

$(- \sqrt{22}, 0)$ 上递减

因为

$f'' (x) < 0$ ，所以在

$(- \sqrt{22}, 0)$ 上递减

因为

$f'' (x) < 0$ ，所以在

$(- \sqrt{22}, 0)$ 上递减

解题步骤 7

将区间

$(0, \sqrt{22})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的

$2.34520787$ 替换变量

$x$ 。

$f'' (2.34520787) = - 3 {(2.34520787)}^{3} + 66 (2.34520787)$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对

$2.34520787$ 进行

$3$ 次方运算。

$f'' (2.34520787) = - 3 \cdot 12.89864333 + 66 (2.34520787)$

解题步骤 7.2.1.2

将

$- 3$ 乘以

$12.89864333$ 。

$f'' (2.34520787) = - 38.69593001 + 66 (2.34520787)$

解题步骤 7.2.1.3

将

$66$ 乘以

$2.34520787$ 。

$f'' (2.34520787) = - 38.69593001 + 154.78372007$

解题步骤 7.2.2

将

$- 38.69593001$ 和

$154.78372007$ 相加。

$f'' (2.34520787) = 116.08779005$

解题步骤 7.2.3

最终答案为

$116.08779005$ 。

$116.08779005$

解题步骤 7.3

在

$2.34520787$ 处，二阶导数为

$116.08779005$ 。由于其值为正，二阶导数在区间

$(0, \sqrt{22})$ 上递增。

因为

$f'' (x) > 0$ ，所以函数在

$(0, \sqrt{22})$ 上递增

因为

$f'' (x) > 0$ ，所以函数在

$(0, \sqrt{22})$ 上递增

解题步骤 8

将区间

$(\sqrt{22}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的

$4.79041575$ 替换变量

$x$ 。

$f'' (4.79041575) = - 3 {(4.79041575)}^{3} + 66 (4.79041575)$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对

$4.79041575$ 进行

$3$ 次方运算。

$f'' (4.79041575) = - 3 \cdot 109.93085918 + 66 (4.79041575)$

解题步骤 8.2.1.2

将

$- 3$ 乘以

$109.93085918$ 。

$f'' (4.79041575) = - 329.79257756 + 66 (4.79041575)$

解题步骤 8.2.1.3

将

$66$ 乘以

$4.79041575$ 。

$f'' (4.79041575) = - 329.79257756 + 316.16744014$

解题步骤 8.2.2

将

$- 329.79257756$ 和

$316.16744014$ 相加。

$f'' (4.79041575) = - 13.62513741$

解题步骤 8.2.3

最终答案为

$- 13.62513741$ 。

$- 13.62513741$

解题步骤 8.3

在

$4.79041575$ ，二阶导数为

$- 13.62513741$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间

$(\sqrt{22}, \infty)$ 上递减

因为

$f'' (x) < 0$ ，所以在

$(\sqrt{22}, \infty)$ 上递减

因为

$f'' (x) < 0$ ，所以在

$(\sqrt{22}, \infty)$ 上递减

解题步骤 9

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为

$(- \sqrt{22}, - \frac{847 \sqrt{22}}{5}), (0, 0), (\sqrt{22}, \frac{847 \sqrt{22}}{5})$ 。

$(- \sqrt{22}, - \frac{847 \sqrt{22}}{5}), (0, 0), (\sqrt{22}, \frac{847 \sqrt{22}}{5})$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例