微积分学示例

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} - 3 x - 4}{x^{2} + 2 x - 3}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} - 3 x - 4}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 2 x - 3}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 3 x - lim_{x \to - 1} 4}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 2 x - 3}$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 3 x - lim_{x \to - 1} 4}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 2 x - 3}$

解题步骤 4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 4}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 2 x - 3}$

解题步骤 5

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 2 x - 3}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 3}$

解题步骤 7

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 3}$

解题步骤 8

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 3}$

解题步骤 9

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 3}$

解题步骤 10

将 $- 1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(- 1)}^{2} - 3 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 3}$

解题步骤 10.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 3}$

解题步骤 10.3

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 - 1 \cdot 4}{{(- 1)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 3}$

解题步骤 10.4

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 - 1 \cdot 4}{{(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1 - 3 \cdot - 1 - 1 \cdot 4}{{(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.1.2

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 + 3 - 1 \cdot 4}{{(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.1.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1 + 3 - 4}{{(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.1.4

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{4 - 4}{{(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.1.5

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{1 + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{0}{1 - 2 - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.2.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{0}{1 - 2 - 3}$

解题步骤 11.2.4

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0}{- 1 - 3}$

解题步骤 11.2.5

从 $- 1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0}{- 4}$

解题步骤 11.3

用 $0$ 除以 $- 4$ 。

$0$

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