微积分学示例

$\frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$

解题步骤 1

将 $\frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}} d x$

解题步骤 4

使 $u = 2 x + 1$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = 2 x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $2 x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 5.2

合并。

$\int \frac{2 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

约去公因数。

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 5.4.2

重写表达式。

$\int \frac{u + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 5.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{u - 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 5.6

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{u + \frac{- 2}{2}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 5.7

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 5.7.2

约去公因数。

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解题步骤 5.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 5.7.2.2

约去公因数。

$\int \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 5.7.2.3

重写表达式。

$\int \frac{u + \frac{- 1}{1}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 5.7.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 5.8

将 $\frac{u - 1}{2 \sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt{u} \cdot 2} d u$

解题步骤 5.9

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{u - 1}{4 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 7

应用指数的基本规则。

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解题步骤 7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 7.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{4} \int (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 7.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{4} \int (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 7.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} \int (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 7.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{4} \int (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 8

展开 $(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{1}{4} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 8.2

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{4} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 8.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{4} \int u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 8.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 8.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 8.6

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{4} (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

解题步骤 10

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

解题步骤 11

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

解题步骤 12

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (2 u^{\frac{1}{2}} + C))$

解题步骤 13

化简。

$\frac{1}{4} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 14

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

要将 $- 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

解题步骤 15.2

组合 $- 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

解题步骤 15.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + C$

解题步骤 15.4

化简分子。

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解题步骤 15.4.1

从 $2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3$ 中分解出因数 $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 15.4.1.1

移动 ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 3 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

解题步骤 15.4.1.2

从 $2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}) - 2 \cdot 3 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

解题步骤 15.4.1.3

从 $- 2 \cdot 3 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)}{3} + C$

解题步骤 15.4.1.4

从 $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)$ 中分解出因数 $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3)}{3} + C$

解题步骤 15.4.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 3)}{3} + C$

解题步骤 15.4.3

化简每一项。

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解题步骤 15.4.3.1

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{1} - 3)}{3} + C$

解题步骤 15.4.3.2

化简。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 1 - 3)}{3} + C$

解题步骤 15.4.4

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 2)}{3} + C$

解题步骤 15.4.5

从 $2 x - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 15.4.5.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) - 2)}{3} + C$

解题步骤 15.4.5.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 2 (- 1))}{3} + C$

解题步骤 15.4.5.3

从 $2 (x) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x - 1))}{3} + C$

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (x - 1)}{3} + C$

解题步骤 15.4.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}{3} + C$

解题步骤 15.5

合并。

$\frac{1 (4 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1))}{4 \cdot 3} + C$

解题步骤 15.6

约去公因数。

$\frac{1 (4 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1))}{4 \cdot 3} + C$

解题步骤 15.7

重写表达式。

$\frac{1 ({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1))}{3} + C$

解题步骤 15.8

将 ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}{3} + C$

解题步骤 16

答案是函数 $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}{3} + C$

微积分学 示例

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