微积分学示例

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x \sqrt{x} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 (x^{\frac{1}{2}} x) d x$

解题步骤 1.2.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) d x$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{1}{2} + 1} d x$

解题步骤 1.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} d x$

解题步骤 1.2.4

在公分母上合并分子。

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{1 + 2}{2}} d x$

解题步骤 1.2.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{4}{x^{3}} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 4.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 4.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \int x^{- 3} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 6

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解题步骤 6.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 6.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 7

由于 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 5$ 移到积分外。

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 \int x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$\frac{- 2}{x^{2}} - 5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{x^{2}} - 5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 9.2.2

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $x^{\frac{5}{2}}$ 。

$- \frac{2}{x^{2}} - 5 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 9.2.3

组合 $- 5$ 和 $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ 。

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 5 (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

解题步骤 9.2.4

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 10 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 9.2.5

从 $- 10 x^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $5$ 。

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{5 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

解题步骤 9.2.6

约去公因数。

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解题步骤 9.2.6.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{5 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{5 (1)} + C$

解题步骤 9.2.6.2

约去公因数。

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{5 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{5 \cdot 1} + C$

解题步骤 9.2.6.3

重写表达式。

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{\frac{5}{2}}}{1} + C$

解题步骤 9.2.6.4

用 $- 2 x^{\frac{5}{2}}$ 除以 $1$ 。

$- \frac{2}{x^{2}} - 2 x^{\frac{5}{2}} + C$

微积分学 示例

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