微积分学示例

$y = x \cos (5 x) - \sin^{2} (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x \cos (5 x) - \sin^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [x \cos (5 x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (5 x)$ 。

$x \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $5 x$ 。

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.2.2.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$x (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.2.2.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$x (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.2.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.2.6

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$x (- \sin (5 x) \cdot 5) + \cos (5 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.2.7

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.2.8

将 $\cos (5 x)$ 乘以 $1$ 。

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 。

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 1.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 1.3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - (2 \sin (x) \cos (x))$

解题步骤 1.3.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - 2 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 1.4

重新排序项。

$f' (x) = - 5 x \sin (5 x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \cos (5 x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 5 x \sin (5 x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \cos (5 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 5 x \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 5 x \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x \sin (5 x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x \sin (5 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x \sin (5 x)]$ 。

$- 5 \frac{d}{d x} [x \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (5 x)$ 。

$- 5 (x \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $5 x$ 。

$- 5 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

解题步骤 2.2.3.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$- 5 (x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 5 (x (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

解题步骤 2.2.4

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 5 (x (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

解题步骤 2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 5 (x (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 5 (x (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \sin (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

解题步骤 2.2.7

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$- 5 (x (\cos (5 x) \cdot 5) + \sin (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

解题步骤 2.2.8

将 $5$ 移到 $\cos (5 x)$ 的左侧。

$- 5 (x (5 \cdot \cos (5 x)) + \sin (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

解题步骤 2.2.9

将 $\sin (5 x)$ 乘以 $1$ 。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \cos (x) \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ 。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

解题步骤 2.3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

解题步骤 2.3.4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

解题步骤 2.3.5

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

解题步骤 2.3.6

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

解题步骤 2.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

解题步骤 2.3.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

解题步骤 2.3.9

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

解题步骤 2.3.10

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

解题步骤 2.3.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

解题步骤 2.3.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ 。

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解题步骤 2.4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 2.4.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $5 x$ 。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 2.4.1.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 2.4.1.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 2.4.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - \sin (5 x) (5 \cdot 1)$

解题步骤 2.4.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - \sin (5 x) \cdot 5$

解题步骤 2.4.5

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 5 \sin (5 x)$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$- 5 (x (5 \cos (5 x))) - 5 \sin (5 x) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 5 \sin (5 x)$

解题步骤 2.5.2

运用分配律。

$- 5 (x (5 \cos (5 x))) - 5 \sin (5 x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 5 \sin (5 x)$

解题步骤 2.5.3

合并项。

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解题步骤 2.5.3.1

将 $5$ 乘以 $- 5$ 。

$- 25 (x (\cos (5 x))) - 5 \sin (5 x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 5 \sin (5 x)$

解题步骤 2.5.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- 25 x \cos (5 x) - 5 \sin (5 x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 5 \sin (5 x)$

解题步骤 2.5.3.3

从 $- 5 \sin (5 x)$ 中减去 $5 \sin (5 x)$ 。

$f'' (x) = - 25 x \cos (5 x) - 10 \sin (5 x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$

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