微积分学示例

$lim_{x \to 0^{+}} {(\frac{1}{x})}^{x}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${(\frac{1}{x})}^{x}$ 重写为 $e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$

解题步骤 1.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\frac{1}{x})}$

解题步骤 2

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\frac{1}{x})}$

解题步骤 3

将 $x \ln (\frac{1}{x})$ 重写为 $\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}}$

解题步骤 4

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\frac{1}{x})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.3

因为分子是常数且当 $x$ 从右边趋于 $0$ 时分母趋于 $0$ ，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于无穷大。

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

解题步骤 4.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 4.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.2.3

使用 $\frac{1}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.5

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 1 x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{1} x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{1 - 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.9

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{- 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.11

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

解题步骤 4.3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{- x^{- 2}}}$

解题步骤 4.3.13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.4

将分子乘以分母的倒数。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}}$

解题步骤 4.5

合并因数。

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解题步骤 4.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} 1 \frac{1}{x} x^{2}}$

解题步骤 4.5.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} x^{2}}$

解题步骤 4.5.3

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $x^{2}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{x}}$

解题步骤 4.6

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x}}$

解题步骤 4.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x^{1}}}$

解题步骤 4.6.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

解题步骤 4.6.2.3

约去公因数。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

解题步骤 4.6.2.4

重写表达式。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{1}}$

解题步骤 4.6.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x}$

解题步骤 5

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{0}$

解题步骤 6

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1$

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