微积分学示例

$y = {(3 x^{2} - 6 x + 1)}^{2}$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 3 x^{2} - 6 x + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x^{2} - 6 x + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 1]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 1]$

解题步骤 1.1.3

使用 $3 x^{2} - 6 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 1]$

解题步骤 1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 6 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.5

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.7

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.8

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 + 0)$

解题步骤 1.2.9

将 $6 x - 6$ 和 $0$ 相加。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6)$

解题步骤 1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$(2 (3 x^{2}) + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 1) (6 x - 6)$

解题步骤 1.3.2

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$(6 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 1) (6 x - 6)$

解题步骤 1.3.2.2

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$(6 x^{2} - 12 x + 2 \cdot 1) (6 x - 6)$

解题步骤 1.3.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(6 x^{2} - 12 x + 2) (6 x - 6)$

解题步骤 1.3.3

重新排序 $(6 x^{2} - 12 x + 2) (6 x - 6)$ 的因式。

$f' (x) = (6 x - 6) (6 x^{2} - 12 x + 2)$

解题步骤 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 6 x - 6$ 且 $g (x) = 6 x^{2} - 12 x + 2$ 。

$(6 x - 6) \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 12 x + 2] + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

解题步骤 2.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $6 x^{2} - 12 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$(6 x - 6) (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

解题步骤 2.2.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(6 x - 6) (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(6 x - 6) (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

解题步骤 2.2.4

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$(6 x - 6) (12 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

解题步骤 2.2.5

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(6 x - 6) (12 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(6 x - 6) (12 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

解题步骤 2.2.7

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$(6 x - 6) (12 x - 12 + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

解题步骤 2.2.8

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(6 x - 6) (12 x - 12 + 0) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

解题步骤 2.2.9

将 $12 x - 12$ 和 $0$ 相加。

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

解题步骤 2.2.10

根据加法法则， $6 x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 2.2.11

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 2.2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 2.2.13

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (6 + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 2.2.14

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (6 + 0)$

解题步骤 2.2.15

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.15.1

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \cdot 6$

解题步骤 2.2.15.2

将 $6$ 移到 $6 x^{2} - 12 x + 2$ 的左侧。

$(6 x - 6) (12 x - 12) + 6 \cdot (6 x^{2} - 12 x + 2)$

解题步骤 2.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

运用分配律。

$(6 x - 6) (12 x - 12) + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

解题步骤 2.3.2

运用分配律。

$(6 x - 6) (12 x) + (6 x - 6) \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

解题步骤 2.3.3

运用分配律。

$6 x (12 x) - 6 (12 x) + (6 x - 6) \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

解题步骤 2.3.4

运用分配律。

$6 x (12 x) - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

解题步骤 2.3.5

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.5.1

将 $12$ 乘以 $6$ 。

$72 x \cdot x - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

解题步骤 2.3.5.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$72 (x^{1} x) - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

解题步骤 2.3.5.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$72 (x^{1} x^{1}) - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

解题步骤 2.3.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$72 x^{1 + 1} - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

解题步骤 2.3.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$72 x^{2} - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

解题步骤 2.3.5.6

将 $12$ 乘以 $- 6$ 。

$72 x^{2} - 72 x + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

解题步骤 2.3.5.7

将 $- 12$ 乘以 $6$ 。

$72 x^{2} - 72 x - 72 x - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

解题步骤 2.3.5.8

将 $- 6$ 乘以 $- 12$ 。

$72 x^{2} - 72 x - 72 x + 72 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

解题步骤 2.3.5.9

从 $- 72 x$ 中减去 $72 x$ 。

$72 x^{2} - 144 x + 72 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

解题步骤 2.3.5.10

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$72 x^{2} - 144 x + 72 + 36 x^{2} + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

解题步骤 2.3.5.11

将 $- 12$ 乘以 $6$ 。

$72 x^{2} - 144 x + 72 + 36 x^{2} - 72 x + 6 \cdot 2$

解题步骤 2.3.5.12

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$72 x^{2} - 144 x + 72 + 36 x^{2} - 72 x + 12$

解题步骤 2.3.5.13

将 $72 x^{2}$ 和 $36 x^{2}$ 相加。

$108 x^{2} - 144 x + 72 - 72 x + 12$

解题步骤 2.3.5.14

从 $- 144 x$ 中减去 $72 x$ 。

$108 x^{2} - 216 x + 72 + 12$

解题步骤 2.3.5.15

将 $72$ 和 $12$ 相加。

$f'' (x) = 108 x^{2} - 216 x + 84$

微积分学 示例

微积分学示例