微积分学示例

$\sum_{k = 5}^{5} {(k + 1)}^{2} (k - 3)$

解题步骤 1

化简总和。

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解题步骤 1.1

将 ${(k + 1)}^{2}$ 重写为 $(k + 1) (k + 1)$ 。

$(k + 1) (k + 1) (k - 3)$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(k + 1) (k + 1)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$(k (k + 1) + 1 (k + 1)) (k - 3)$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$(k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)) (k - 3)$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$(k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) (k - 3)$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $k$ 乘以 $k$ 。

$(k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) (k - 3)$

解题步骤 1.3.1.2

将 $k$ 乘以 $1$ 。

$(k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1) (k - 3)$

解题步骤 1.3.1.3

将 $k$ 乘以 $1$ 。

$(k^{2} + k + k + 1 \cdot 1) (k - 3)$

解题步骤 1.3.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$(k^{2} + k + k + 1) (k - 3)$

解题步骤 1.3.2

将 $k$ 和 $k$ 相加。

$(k^{2} + 2 k + 1) (k - 3)$

解题步骤 1.4

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(k^{2} + 2 k + 1) (k - 3)$ 。

$k^{2} k + k^{2} \cdot - 3 + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

解题步骤 1.5

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1

通过指数相加将 $k^{2}$ 乘以 $k$ 。

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解题步骤 1.5.1.1

将 $k^{2}$ 乘以 $k$ 。

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解题步骤 1.5.1.1.1

对 $k$ 进行 $1$ 次方运算。

$k^{2} k^{1} + k^{2} \cdot - 3 + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

解题步骤 1.5.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$k^{2 + 1} + k^{2} \cdot - 3 + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

解题步骤 1.5.1.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$k^{3} + k^{2} \cdot - 3 + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

解题步骤 1.5.2

将 $- 3$ 移到 $k^{2}$ 的左侧。

$k^{3} - 3 \cdot k^{2} + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

解题步骤 1.5.3

通过指数相加将 $k$ 乘以 $k$ 。

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解题步骤 1.5.3.1

移动 $k$ 。

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 (k \cdot k) + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

解题步骤 1.5.3.2

将 $k$ 乘以 $k$ 。

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 k^{2} + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

解题步骤 1.5.4

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 k^{2} - 6 k + 1 k + 1 \cdot - 3$

解题步骤 1.5.5

将 $k$ 乘以 $1$ 。

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 k^{2} - 6 k + k + 1 \cdot - 3$

解题步骤 1.5.6

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 k^{2} - 6 k + k - 3$

解题步骤 1.6

将 $- 3 k^{2}$ 和 $2 k^{2}$ 相加。

$k^{3} - k^{2} - 6 k + k - 3$

解题步骤 1.7

将 $- 6 k$ 和 $k$ 相加。

$k^{3} - k^{2} - 5 k - 3$

解题步骤 1.8

重写该总和。

$\sum_{k = 5}^{5} k^{3} - k^{2} - 5 k - 3$

解题步骤 2

展开 $k$ 每个取值的序列。

$5^{3} - 5^{2} - 5 \cdot 5 - 3$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$125 - 5^{2} - 5 \cdot 5 - 3$

解题步骤 3.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$125 - 1 \cdot 25 - 5 \cdot 5 - 3$

解题步骤 3.3

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$125 - 25 - 5 \cdot 5 - 3$

解题步骤 3.4

从 $125$ 中减去 $25$ 。

$100 - 5 \cdot 5 - 3$

解题步骤 3.5

将 $- 5$ 乘以 $5$ 。

$100 - 25 - 3$

解题步骤 3.6

从 $100$ 中减去 $25$ 。

$75 - 3$

解题步骤 3.7

从 $75$ 中减去 $3$ 。

$72$

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