微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x}{x^{3} + x}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} + x}{lim_{x \to 0} x^{3} + x}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3} + x}$

解题步骤 1.1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3} + x}$

解题步骤 1.1.2.3

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3} + x}$

解题步骤 1.1.2.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0^{2} + 0}{lim_{x \to 0} x^{3} + x}$

解题步骤 1.1.2.4

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.4.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3} + x}$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3} + x}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.3.2

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.3.3

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{3} + lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.3.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{3} + 0}$

解题步骤 1.1.3.4

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.4.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x}{x^{3} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{2} + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x]}$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x]}$

解题步骤 1.3.5

根据加法法则， $x^{3} + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 1}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x + 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 1}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 1}$

解题步骤 2.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 1}$

解题步骤 2.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 1}$

解题步骤 2.5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 2.6

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + 1}{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 2.7

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + 1}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 2.8

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + 1}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

解题步骤 3

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cdot 0 + 1}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

解题步骤 3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cdot 0 + 1}{3 \cdot 0^{2} + 1}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 1}{3 \cdot 0^{2} + 1}$

解题步骤 4.1.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3 \cdot 0^{2} + 1}$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{3 \cdot 0 + 1}$

解题步骤 4.2.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{0 + 1}$

解题步骤 4.2.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{1}$

解题步骤 4.3

用 $1$ 除以 $1$ 。

$1$

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