微积分学示例

$y = {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = 5 x - 1$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x - 1$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

解题步骤 3.1.3

使用 $5 x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

解题步骤 3.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

解题步骤 3.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

解题步骤 3.5.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

解题步骤 3.6

合并分数。

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解题步骤 3.6.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

解题步骤 3.6.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{{(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

解题步骤 3.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $5 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.8

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.10

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 + 0)$

解题步骤 3.12

合并分数。

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解题步骤 3.12.1

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 5$

解题步骤 3.12.2

组合 $\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $5$ 。

$\frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

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