微积分学示例

$y = x e^{x^{2}}$ , $y = - 2 x$ , $x = 1$ , $x = 0$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (x)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (x) = x e^{x^{2}}$ 和 $g (x) = - 2 x$ 时， $V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

对 $x e^{x^{2}}$ 运用乘积法则。

$V = x^{2} {(e^{x^{2}})}^{2} - {(- 2 x)}^{2}$

解题步骤 2.2

将 ${(e^{x^{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V = x^{2} e^{x^{2} \cdot 2} - {(- 2 x)}^{2}$

解题步骤 2.2.2

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$V = x^{2} e^{2 x^{2}} - {(- 2 x)}^{2}$

解题步骤 2.3

对 $- 2 x$ 运用乘积法则。

$V = x^{2} e^{2 x^{2}} - ({(- 2)}^{2} x^{2})$

解题步骤 2.4

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$V = x^{2} e^{2 x^{2}} - (4 x^{2})$

解题步骤 2.5

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$V = x^{2} e^{2 x^{2}} - 4 x^{2}$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$V = π (\int_{0}^{1} x^{2} e^{2 x^{2}} d x + \int_{0}^{1} - 4 x^{2} d x)$

解题步骤 4

使 $u_{1} = 2 x^{2}$ 。然后使 $d u_{1} = 4 x d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u_{1} = x d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{1} = 2 x^{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $2 x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 4.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 x)$

解题步骤 4.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u_{1} = 2 x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0^{2}$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 4.3.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u_{1} = 2 x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \cdot 1^{2}$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

解题步骤 4.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 4.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 4.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$V = π (\int_{0}^{2} \frac{\sqrt{2 u_{1}}}{2} \cdot (e^{u_{1}} (\frac{1}{4})) d u_{1} + \int_{0}^{1} - 4 x^{2} d x)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{\sqrt{2 u_{1}}}{2}$ 和 $e^{u_{1}}$ 。

$V = π (\int_{0}^{2} \frac{\sqrt{2 u_{1}} e^{u_{1}}}{2} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{1} - 4 x^{2} d x)$

解题步骤 5.2

将 $\frac{\sqrt{2 u_{1}} e^{u_{1}}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$V = π (\int_{0}^{2} \frac{\sqrt{2 u_{1}} e^{u_{1}}}{2 \cdot 4} d u_{1} + \int_{0}^{1} - 4 x^{2} d x)$

解题步骤 5.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$V = π (\int_{0}^{2} \frac{\sqrt{2 u_{1}} e^{u_{1}}}{8} d u_{1} + \int_{0}^{1} - 4 x^{2} d x)$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{8}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{8}$ 移到积分外。

$V = π (\frac{1}{8} \cdot \int_{0}^{2} \sqrt{2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - 4 x^{2} d x)$

解题步骤 7

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = e^{u_{1}}$ ， $d v = \sqrt{2 u_{1}}$ 。

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

解题步骤 8.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

解题步骤 8.3

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

解题步骤 8.3.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

解题步骤 8.3.2.2

约去公因数。

解题步骤 8.3.2.3

重写表达式。

解题步骤 8.4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 。

解题步骤 8.5

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

解题步骤 8.6

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

解题步骤 8.7

将 $2$ 乘以 $3$ 。

解题步骤 8.8

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 8.8.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

解题步骤 8.8.2

约去公因数。

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解题步骤 8.8.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

解题步骤 8.8.2.2

约去公因数。

解题步骤 8.8.2.3

重写表达式。

解题步骤 8.9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 。

解题步骤 8.10

组合 $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 和 $e^{u_{1}}$ 。

解题步骤 9

由于 $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 移到积分外。

解题步骤 10

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

解题步骤 11

组合 $e^{u_{1}}]_{0}^{2}$ 和 $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

解题步骤 12

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

解题步骤 13

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

解题步骤 14

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

解题步骤 15

代入并化简。

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解题步骤 15.1

计算 $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

解题步骤 15.2

计算 $e^{u_{1}}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = π (\frac{1}{8} \cdot ((\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{e^{0} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{((e^{2}) - e^{0}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

解题步骤 15.3

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = π (\frac{1}{8} \cdot ((\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{e^{0} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{((e^{2}) - e^{0}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 15.4

化简。

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解题步骤 15.4.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{((e^{2}) - e^{0}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 15.4.2

将 ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{((e^{2}) - e^{0}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 15.4.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{(e^{2} - 1 \cdot 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 15.4.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{(e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 15.4.5

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 15.4.6

一的任意次幂都为一。

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 15.4.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}))$

解题步骤 15.4.8

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 15.4.8.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

解题步骤 15.4.8.2

约去公因数。

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解题步骤 15.4.8.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

解题步骤 15.4.8.2.2

约去公因数。

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

解题步骤 15.4.8.2.3

重写表达式。

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}))$

解题步骤 15.4.8.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 (\frac{1}{3} - 0))$

解题步骤 15.4.9

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 (\frac{1}{3} + 0))$

解题步骤 15.4.10

将 $\frac{1}{3}$ 和 $0$ 相加。

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4 (\frac{1}{3}))$

解题步骤 15.4.11

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) + \frac{- 4}{3})$

解题步骤 15.4.12

将负号移到分数的前面。

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{4}{3})$

解题步骤 15.4.13

要将 $\frac{1}{8} (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$V = π (\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3})$

解题步骤 15.4.14

组合 $\frac{1}{8} (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3})$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$V = π (\frac{\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) \cdot 3}{3} - \frac{4}{3})$

解题步骤 15.4.15

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{\frac{1}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) \cdot 3 - 4}{3})$

解题步骤 15.4.16

组合 $3$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$V = π (\frac{\frac{3}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4}{3})$

解题步骤 15.4.17

组合 $π$ 和 $\frac{\frac{3}{8} (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4}{3}$ 。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot (\frac{e^{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4)}{3}$

解题步骤 16

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 16.1

使用 $2 u_{1}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot (\frac{e^{2} {(2 u_{1})}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {(2 u_{1})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(2 u_{1})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4)}{3}$

解题步骤 16.2

使用 $2 x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot (\frac{e^{2} {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - (e^{2} - 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4)}{3}$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

运用分配律。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot (\frac{e^{2} {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4)}{3}$

解题步骤 17.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot (\frac{e^{2} {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 4)}{3}$

解题步骤 17.3

在公分母上合并分子。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{e^{2} {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4

化简每一项。

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解题步骤 17.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{e^{2} {(4 x^{2})}^{\frac{3}{2}} + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.2

对 $4 x^{2}$ 运用乘积法则。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{e^{2} (4^{\frac{3}{2}} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{e^{2} ({(2^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{e^{2} (2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.4.5.1

约去公因数。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{e^{2} (2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.5.2

重写表达式。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{e^{2} (2^{3} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.6

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{e^{2} (8 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.7

将 ${(x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 17.4.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{e^{2} (8 x^{2 (\frac{3}{2})}) + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.7.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.4.7.2.1

约去公因数。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{e^{2} (8 x^{2 (\frac{3}{2})}) + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.7.2.2

重写表达式。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{e^{2} (8 x^{3}) + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.8

将 $8$ 移到 $e^{2}$ 的左侧。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 \cdot (e^{2} x^{3}) + (- e^{2} + 1) {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.9

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} + (- e^{2} + 1) {(4 x^{2})}^{\frac{3}{2}} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.10

对 $4 x^{2}$ 运用乘积法则。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} + (- e^{2} + 1) (4^{\frac{3}{2}} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}) - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.11

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} + (- e^{2} + 1) ({(2^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}) - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.12

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} + (- e^{2} + 1) (2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}) - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.13

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.4.13.1

约去公因数。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} + (- e^{2} + 1) (2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}) - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.13.2

重写表达式。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} + (- e^{2} + 1) (2^{3} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}) - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.14

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} + (- e^{2} + 1) (8 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}) - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.15

将 ${(x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 17.4.15.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} + (- e^{2} + 1) (8 x^{2 (\frac{3}{2})}) - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.15.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.4.15.2.1

约去公因数。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} + (- e^{2} + 1) (8 x^{2 (\frac{3}{2})}) - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.15.2.2

重写表达式。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} + (- e^{2} + 1) (8 x^{3}) - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.16

运用分配律。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - e^{2} (8 x^{3}) + 1 (8 x^{3}) - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.17

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 1 (8 x^{3}) - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.18

将 $8 x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - {(2 (2 x^{2}))}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.19

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - {(4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.20

对 $4 x^{2}$ 运用乘积法则。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - (4^{\frac{3}{2}} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.21

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - ({(2^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.22

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - (2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.23

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.4.23.1

约去公因数。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - (2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.23.2

重写表达式。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - (2^{3} {(x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.24

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - (8 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.25

将 ${(x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 17.4.25.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - (8 x^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.25.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.4.25.2.1

约去公因数。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - (8 x^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.25.2.2

重写表达式。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - (8 x^{3})}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.4.26

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - 8 x^{3}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.5

合并 $8 e^{2} x^{3} - 8 e^{2} x^{3} + 8 x^{3} - 8 x^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 17.5.1

从 $8 e^{2} x^{3}$ 中减去 $8 e^{2} x^{3}$ 。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{0 + 8 x^{3} - 8 x^{3}}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.5.2

从 $8 x^{3}$ 中减去 $8 x^{3}$ 。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{0 + 0}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.5.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{0}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 17.6.1

约去公因数。

$V = \frac{π (\frac{3}{8} \cdot \frac{0}{3} - 4)}{3}$

解题步骤 17.6.2

重写表达式。

$V = \frac{π (\frac{1}{8} \cdot 0 - 4)}{3}$

解题步骤 17.7

将 $\frac{1}{8}$ 乘以 $0$ 。

$V = \frac{π (0 - 4)}{3}$

解题步骤 17.8

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$V = \frac{π \cdot - 4}{3}$

解题步骤 17.9

将 $- 4$ 移到 $π$ 的左侧。

$V = \frac{- 4 \cdot π}{3}$

解题步骤 17.10

将负号移到分数的前面。

$V = - \frac{4 π}{3}$

解题步骤 18

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$V = - \frac{4 π}{3}$

小数形式：

$V = - 4.18879020 \dots$

解题步骤 19

微积分学 示例

微积分学示例