微积分学示例

$\int_{0}^{x} (1 + 2 t + 3 t^{2} + 4 t^{3}) d t$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{0}^{x} 1 + 2 t + 3 t^{2} + 4 t^{3} d t$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{x} d t + \int_{0}^{x} 2 t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$t]_{0}^{x} + \int_{0}^{x} 2 t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$t]_{0}^{x} + 2 \int_{0}^{x} t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

解题步骤 5

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

解题步骤 7

由于 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 \int_{0}^{x} t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

解题步骤 8

根据幂法则， $t^{2}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{3} t^{3}$ 。

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $t^{3}$ 。

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

解题步骤 10

由于 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 \int_{0}^{x} t^{3} d t$

解题步骤 11

根据幂法则， $t^{3}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{4} t^{4}$ 。

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{x})$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $t^{4}$ 。

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

解题步骤 12.2

代入并化简。

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解题步骤 12.2.1

计算 $t$ 在 $x$ 处和在 $0$ 处的值。

$(x) + 0 + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

解题步骤 12.2.2

计算 $\frac{t^{2}}{2}$ 在 $x$ 处和在 $0$ 处的值。

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

解题步骤 12.2.3

计算 $\frac{t^{3}}{3}$ 在 $x$ 处和在 $0$ 处的值。

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

解题步骤 12.2.4

计算 $\frac{t^{4}}{4}$ 在 $x$ 处和在 $0$ 处的值。

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5

化简。

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解题步骤 12.2.5.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.3

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.5.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.3.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.5.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.3.2.2

约去公因数。

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.3.2.3

重写表达式。

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - 0) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} + 0) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.5

将 $\frac{x^{2}}{2}$ 和 $0$ 相加。

$x + 2 \frac{x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.6

组合 $2$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$x + \frac{2 x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.5.7.1

约去公因数。

$x + \frac{2 x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.7.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.8

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.9

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.5.9.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.9.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.5.9.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.9.2.2

约去公因数。

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.9.2.3

重写表达式。

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.9.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - 0) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.10

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} + 0) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.11

将 $\frac{x^{3}}{3}$ 和 $0$ 相加。

$x + x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.12

组合 $3$ 和 $\frac{x^{3}}{3}$ 。

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.13

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.5.13.1

约去公因数。

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.13.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.14

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0}{4})$

解题步骤 12.2.5.15

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.5.15.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

解题步骤 12.2.5.15.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.5.15.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

解题步骤 12.2.5.15.2.2

约去公因数。

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

解题步骤 12.2.5.15.2.3

重写表达式。

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0}{1})$

解题步骤 12.2.5.15.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - 0)$

解题步骤 12.2.5.16

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} + 0)$

解题步骤 12.2.5.17

将 $\frac{x^{4}}{4}$ 和 $0$ 相加。

$x + x^{2} + x^{3} + 4 \frac{x^{4}}{4}$

解题步骤 12.2.5.18

组合 $4$ 和 $\frac{x^{4}}{4}$ 。

$x + x^{2} + x^{3} + \frac{4 x^{4}}{4}$

解题步骤 12.2.5.19

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.5.19.1

约去公因数。

$x + x^{2} + x^{3} + \frac{4 x^{4}}{4}$

解题步骤 12.2.5.19.2

用 $x^{4}$ 除以 $1$ 。

$x + x^{2} + x^{3} + x^{4}$

微积分学 示例

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