微积分学示例

$f (x) = x + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1.1

根据加法法则， $x + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ 。

$1 + 3 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$1 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 1.1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 1.1.1.2.2.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 1.1.1.2.3

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

解题步骤 1.1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

解题步骤 1.1.1.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))$

解题步骤 1.1.1.2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

解题步骤 1.1.1.2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

解题步骤 1.1.1.2.8

在公分母上合并分子。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

解题步骤 1.1.1.2.9

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0))$

解题步骤 1.1.1.2.9.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0))$

解题步骤 1.1.1.2.10

将负号移到分数的前面。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0))$

解题步骤 1.1.1.2.11

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1)$

解题步骤 1.1.1.2.12

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$1 + 3 (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1)$

解题步骤 1.1.1.2.13

将 $\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 乘以 $1$ 。

$1 + 3 \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 1.1.1.2.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$1 + 3 \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.1.2.15

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$1 + \frac{3}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.1.2.16

约去公因数。

$1 + \frac{3}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.1.2.17

重写表达式。

$f' (x) = 1 + \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1.1

根据加法法则， $1 + \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 1.1.2.1.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

将 $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 重写为 ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 1.1.2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$0 - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 1.1.2.2.2.3

使用 ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 1.1.2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x - 1$ 。

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 1.1.2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 1.1.2.2.3.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 1.1.2.2.4

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

解题步骤 1.1.2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

解题步骤 1.1.2.2.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

解题步骤 1.1.2.2.7

将 ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.2.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0 - {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

解题步骤 1.1.2.2.7.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 2$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.7.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 2$ 。

$0 - {(x - 1)}^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

解题步骤 1.1.2.2.7.2.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$0 - {(x - 1)}^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

解题步骤 1.1.2.2.7.3

将负号移到分数的前面。

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

解题步骤 1.1.2.2.8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

解题步骤 1.1.2.2.9

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

解题步骤 1.1.2.2.10

在公分母上合并分子。

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

解题步骤 1.1.2.2.11

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.2.11.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))$

解题步骤 1.1.2.2.11.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))$

解题步骤 1.1.2.2.12

将负号移到分数的前面。

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))$

解题步骤 1.1.2.2.13

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1)$

解题步骤 1.1.2.2.14

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1)$

解题步骤 1.1.2.2.15

将 $\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 乘以 $1$ 。

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 1.1.2.2.16

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.1.2.2.17

组合 $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 和 ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ 。

$0 - \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.1.2.2.18

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ 移动到分母。

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.1.2.2.19

通过指数相加将 ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.19.1

移动 ${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ 。

$0 - \frac{2}{3 ({(x - 1)}^{\frac{4}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}$

解题步骤 1.1.2.2.19.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.1.2.2.19.3

在公分母上合并分子。

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

解题步骤 1.1.2.2.19.4

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 1.1.2.3

从 $0$ 中减去 $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ 。

$- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$2 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为 $2 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 2

求 $f (x) = x + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 2.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$x + 3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}$

解题步骤 2.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$x + 3 \sqrt[3]{x - 1}$

解题步骤 2.2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

因为二阶导数是负数，所以图像向下凹。

图像向下凹

解题步骤 4

微积分学 示例

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