微积分学示例

$\int {(x - 5)}^{2} e^{x} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = {(x - 5)}^{2}$ ， $d v = e^{x}$ 。

${(x - 5)}^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x - 10) d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = 2 x - 10$ ， $d v = e^{x}$ 。

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - \int e^{x} \cdot 2 d x)$

解题步骤 3

将 $2$ 移到 $e^{x}$ 的左侧。

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - \int 2 e^{x} d x)$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - (2 \int e^{x} d x))$

解题步骤 5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 \int e^{x} d x)$

解题步骤 6

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 (e^{x} + C))$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

将 ${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 (e^{x} + C))$ 重写为 $(x - 5) (x - 5) e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$ 。

$(x - 5) (x - 5) e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

对 $x - 5$ 进行 $1$ 次方运算。

${(x - 5)}^{1} (x - 5) e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

解题步骤 7.2.2

对 $x - 5$ 进行 $1$ 次方运算。

${(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

解题步骤 7.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(x - 5)}^{1 + 1} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

解题步骤 7.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

运用分配律。

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x}) - (- 2 e^{x}) + C$

解题步骤 7.3.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

${(x - 5)}^{2} e^{x} - (2 x - 10) e^{x} + 2 e^{x} + C$

解题步骤 7.3.3

将 $- (2 x - 10) e^{x} + 2 e^{x}$ 中的因式重新排序。

${(x - 5)}^{2} e^{x} - e^{x} (2 x - 10) + 2 e^{x} + C$

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