微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{\sin (x)}{x}} + \frac{1 - \cos (x)}{x} + \frac{\tan (x)}{x}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

解题步骤 1.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

解题步骤 1.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

解题步骤 1.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{1}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

解题步骤 2

由于 $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ 和 $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ ，使用迫近定理。

$2 (\frac{1}{1}) + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

解题步骤 3

由于 $0 \leq \frac{1 - \cos (x)}{x} \leq \frac{x}{2}$ 和 $lim_{x \to 0} 0 = lim_{x \to 0} \frac{x}{2} = 0$ ，使用迫近定理。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

解题步骤 4

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1

取分子和分母极限值。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 4.1.2.1

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.3

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{0}$

解题步骤 4.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{0}$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.3.1

对分子和分母进行求导。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

解题步骤 4.4

用 $\sec^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

解题步骤 5.2

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

解题步骤 6

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (0)$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.1

约去公因数。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (0)$

解题步骤 7.1.1.2

重写表达式。

$2 \cdot 1 + 0 + \sec^{2} (0)$

解题步骤 7.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + 0 + \sec^{2} (0)$

解题步骤 7.1.3

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 + 0 + 1^{2}$

解题步骤 7.1.4

一的任意次幂都为一。

$2 + 0 + 1$

解题步骤 7.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2 + 1$

解题步骤 7.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$3$

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