微积分学示例

$\int e^{2 θ} \sin (2 θ) d θ$

解题步骤 1

将 $e^{2 θ}$ 和 $\sin (2 θ)$ 重新排序。

$\int \sin (2 θ) e^{2 θ} d θ$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sin (2 θ)$ ， $d v = e^{2 θ}$ 。

$\sin (2 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - \int \frac{1}{2} e^{2 θ} (2 \cos (2 θ)) d θ$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2} \cdot 2$ 对于 $θ$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2} \cdot 2$ 移到积分外。

$\sin (2 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

解题步骤 4

合并分数。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 θ}$ 。

$\sin (2 θ) \frac{e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

解题步骤 4.2

组合 $\sin (2 θ)$ 和 $\frac{e^{2 θ}}{2}$ 。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

解题步骤 4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

解题步骤 4.4

将 $e^{2 θ}$ 和 $\cos (2 θ)$ 重新排序。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} \int \cos (2 θ) e^{2 θ} d θ)$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \cos (2 θ)$ ， $d v = e^{2 θ}$ 。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\cos (2 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - \int \frac{1}{2} e^{2 θ} (- 2 \sin (2 θ)) d θ))$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2} \cdot - 2$ 对于 $θ$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2} \cdot - 2$ 移到积分外。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\cos (2 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - (\frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)))$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 θ}$ 。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\cos (2 θ) \frac{e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)))$

解题步骤 7.2

组合 $\cos (2 θ)$ 和 $\frac{e^{2 θ}}{2}$ 。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)))$

解题步骤 7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 2$ 。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)))$

解题步骤 7.4

运用分配律。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2}{2} \cdot \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2}{2} (- (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ))$

解题步骤 7.5

将 $\frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{2}{2} (- (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ))$

解题步骤 7.6

乘。

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解题步骤 7.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} - \frac{2}{2} (- (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ))$

解题步骤 7.6.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + 1 (\frac{2}{2}) (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

解题步骤 7.6.3

将 $\frac{2}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + \frac{2}{2} (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

解题步骤 7.7

将 $\frac{- 2}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + \frac{- 2 \cdot 2}{2 \cdot 2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ$

解题步骤 7.8

乘。

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解题步骤 7.8.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + \frac{- 4}{2 \cdot 2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ$

解题步骤 7.8.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + \frac{- 4}{4} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ$

解题步骤 8

求解 $\int e^{2 θ} \sin (2 θ) d θ$ ，我们发现 $\int e^{2 θ} \sin (2 θ) d θ$ = $\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4}}{\frac{8}{4}}$ 。

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简。

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解题步骤 9.1.1

将 $2$ 移到 $\cos (2 θ) e^{2 θ}$ 的左侧。

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2 \cdot (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

解题步骤 9.1.2

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.2.1

从 $2 \cos (2 θ) e^{2 θ}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2 (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

解题步骤 9.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2 (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{2 \cdot 2}}{\frac{8}{4}} + C$

解题步骤 9.1.2.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2 (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{2 \cdot 2}}{\frac{8}{4}} + C$

解题步骤 9.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{8}{4}} + C$

解题步骤 9.1.3

约去 $8$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4}} + C$

解题步骤 9.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 (1)}} + C$

解题步骤 9.1.3.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}} + C$

解题步骤 9.1.3.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{2}{1}} + C$

解题步骤 9.1.3.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{2} + C$

解题步骤 9.1.4

将 $\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{2} + C$

解题步骤 9.1.5

合并。

$\frac{2 (\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 9.1.6

运用分配律。

$\frac{2 \frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} + 2 (- \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 9.1.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.7.1

约去公因数。

$\frac{2 \frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} + 2 (- \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 9.1.7.2

重写表达式。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + 2 (- \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 9.1.8

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} - 2 \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 9.1.9

组合 $- 2$ 和 $\frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}$ 。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{- 2 (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{2}}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 9.1.10

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.10.1

从 $- 2 \cos (2 θ) e^{2 θ}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{2 (- \cos (2 θ) e^{2 θ})}{2}}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 9.1.10.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.10.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{2 (- \cos (2 θ) e^{2 θ})}{2 (1)}}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 9.1.10.2.2

约去公因数。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{2 (- \cos (2 θ) e^{2 θ})}{2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 9.1.10.2.3

重写表达式。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{- \cos (2 θ) e^{2 θ}}{1}}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 9.1.10.2.4

用 $- \cos (2 θ) e^{2 θ}$ 除以 $1$ 。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 9.1.11

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}}{4} + C$

解题步骤 9.2

将 $\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}}{4} + C$ 重写为 $\frac{1}{4} (\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}) + C$ 。

$\frac{1}{4} (\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}) + C$

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