微积分学示例

$lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x + x^{2})$

解题步骤 1

将 $x \ln (x + x^{2})$ 重写为 $\frac{\ln (x + x^{2})}{\frac{1}{x}}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x + x^{2})}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

解题步骤 2.1.2

当 $x$ 从右边趋于 $0$ 时， $\ln (x + x^{2})$ 无限递减。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

解题步骤 2.1.3

因为分子是常数且当 $x$ 从右边趋于 $0$ 时分母趋于 $0$ ，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于无穷大。

$\frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 2.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{- \infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x + x^{2})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x + x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + x^{2}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $x + x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.3

根据加法法则， $x + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} (1 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

重新排序 $\frac{1}{x + x^{2}} (1 + 2 x)$ 的因式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.6.2

从 $x + x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.3.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x^{1} + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.6.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x \cdot 1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.6.2.3

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x \cdot 1 + x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.6.2.4

从 $x \cdot 1 + x \cdot x$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.6.3

将 $1 + 2 x$ 乘以 $\frac{1}{x (1 + x)}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.7

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

解题步骤 2.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{- x^{- 2}}$

解题步骤 2.3.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 2.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 + 2 x}{x (1 + x)} (- x^{2})$

解题步骤 2.5

组合 $\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}$ 和 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{(1 + 2 x) x^{2}}{x (1 + x)}$

解题步骤 2.6

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1

从 $(1 + 2 x) x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x ((1 + 2 x) x)}{x (1 + x)}$

解题步骤 2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.6.2.1

约去公因数。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x ((1 + 2 x) x)}{x (1 + x)}$

解题步骤 2.6.2.2

重写表达式。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{(1 + 2 x) x}{1 + x}$

解题步骤 2.7

将 $- \frac{(1 + 2 x) x}{1 + x}$ 中的因式重新排序。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (1 + 2 x)}{1 + x}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (1 + 2 x)}{1 + x}$

解题步骤 3.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x (1 + 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot lim_{x \to 0^{+}} 1 + 2 x}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

解题步骤 3.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

解题步骤 3.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

解题步骤 3.6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

解题步骤 3.7

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

解题步骤 3.8

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

解题步骤 4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- \frac{0 \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

解题步骤 4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- \frac{0 \cdot (1 + 2 \cdot 0)}{1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

解题步骤 4.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- \frac{0 \cdot (1 + 2 \cdot 0)}{1 + 0}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

将 $0$ 乘以 $1 + 2 \cdot 0$ 。

$- \frac{0}{1 + 0}$

解题步骤 5.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{0}{1}$

解题步骤 5.3

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- 0$

解题步骤 5.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0$

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