微积分学示例

$\sum_{i = 1}^{11} 3 i^{2} - 8$

解题步骤 1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{k = 1}^{11} 3 i^{2} - 8 = 3 \sum_{k = 1}^{11} i^{2} + \sum_{k = 1}^{11} - 8$

解题步骤 2

计算 $3 \sum_{k = 1}^{11} i^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

度数为 $2$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

解题步骤 2.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(3) (\frac{11 (11 + 1) (2 \cdot 11 + 1)}{6})$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $11$ 和 $1$ 相加。

$3 \frac{11 \cdot 12 (2 \cdot 11 + 1)}{6}$

解题步骤 2.3.1.2

合并指数。

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解题步骤 2.3.1.2.1

将 $11$ 乘以 $12$ 。

$3 \frac{132 (2 \cdot 11 + 1)}{6}$

解题步骤 2.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $11$ 。

$3 \frac{132 (22 + 1)}{6}$

解题步骤 2.3.1.3

将 $22$ 和 $1$ 相加。

$3 \frac{132 \cdot 23}{6}$

解题步骤 2.3.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $132$ 乘以 $23$ 。

$3 (\frac{3036}{6})$

解题步骤 2.3.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 \frac{3036}{3 (2)}$

解题步骤 2.3.2.2.2

约去公因数。

$3 \frac{3036}{3 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{3036}{2}$

解题步骤 2.3.2.3

用 $3036$ 除以 $2$ 。

$1518$

解题步骤 3

计算 $\sum_{k = 1}^{11} - 8$ 。

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解题步骤 3.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 3.2

将值代入公式中。

$(- 8) (11)$

解题步骤 3.3

将 $- 8$ 乘以 $11$ 。

$- 88$

解题步骤 4

将求和的总和相加。

$1518 - 88$

解题步骤 5

从 $1518$ 中减去 $88$ 。

$1430$

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