微积分学示例

$2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cot (x) \cdot \sin (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cot (x) \cdot \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]$ 。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{d}{d x} [2 \tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

解题步骤 2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

解题步骤 2.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$2 \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cot (x) \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \sin (x)]$ 。

$2 \sec^{2} (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \sin (x)]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cot (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

解题步骤 3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

解题步骤 3.4

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \cos (x) + \sin (x) (- \csc^{2} (x)))$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \cos (x)) + 2 (\sin (x) (- \csc^{2} (x)))$

解题步骤 4.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 \sec^{2} (x) + 2 \cot (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \csc^{2} (x)$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$2 \cos (x) \cot (x) - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 4.4

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$2 \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 4.4.2

乘以 $2 \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 4.4.2.1

组合 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 和 $2$ 。

$\frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x)} \cos (x) - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 4.4.2.2

组合 $\frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x)}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) \cdot 2 \cos (x)}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 4.4.2.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 4.4.2.4

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 4.4.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 4.4.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 4.4.3

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 4.4.4

对 $\frac{1}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 4.4.5

一的任意次幂都为一。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 4.4.6

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 4.4.7

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.7.1

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 4.4.7.2

约去公因数。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 4.4.7.3

重写表达式。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin (x)} + 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 4.4.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 4.4.9

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

解题步骤 4.4.10

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.4.11

一的任意次幂都为一。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.4.12

组合 $2$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{2 \cos^{2} (x) - 2}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.6

将 $2 \cos^{2} (x)$ 和 $- 2$ 重新排序。

$\frac{- 2 + 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.7

从 $- 2$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{- 2 (1) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.8

从 $2 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.9

从 $- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{- 2 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.10

使用勾股恒等式。

$\frac{- 2 \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.11

约去 $\sin^{2} (x)$ 和 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 4.11.1

从 $- 2 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) (- 2 \sin (x))}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.11.2

约去公因数。

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解题步骤 4.11.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (x) (- 2 \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.11.2.2

约去公因数。

$\frac{\sin (x) (- 2 \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.11.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2 \sin (x)}{1} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.11.2.4

用 $- 2 \sin (x)$ 除以 $1$ 。

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.12

化简每一项。

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解题步骤 4.12.1

乘以 $1$ 。

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

解题步骤 4.12.2

分离分数。

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.12.3

将 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\sec^{2} (x)$ 。

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{1} \sec^{2} (x)$

解题步骤 4.12.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$- 2 \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

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