微积分学示例

$\int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

解题步骤 1

计算 $\int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ$ 。

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解题步骤 1.1

由于 $\sin^{2} (x)$ 对于 $θ$ 是常数，所以将 $\sin^{2} (x)$ 移到积分外。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

解题步骤 1.2

使 $u = \sin (θ)$ 。然后使 $d u = \cos (θ) d θ$ ，以便 $\frac{1}{\cos (θ)} d u = d θ$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.2.1

设 $u = \sin (θ)$ 。求 $\frac{d u}{d θ}$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

对 $\sin (θ)$ 求导。

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

解题步骤 1.2.1.2

$\sin (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\cos (θ)$ 。

$\cos (θ)$

解题步骤 1.2.2

将下限代入替换 $u = \sin (θ)$ 中的 $θ$ 。

$u_{lower} = \sin (0)$

解题步骤 1.2.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.2.4

将上限代入替换 $u = \sin (θ)$ 中的 $θ$ 。

$u_{upper} = \sin (2 π)$

解题步骤 1.2.5

化简。

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解题步骤 1.2.5.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$u_{upper} = \sin (0)$

解题步骤 1.2.5.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u (\sin (x) - u) d u d x$

解题步骤 1.3

展开 $u (\sin (x) - u)$ 。

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解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) + u (- u) d u d x$

解题步骤 1.3.2

将 $u$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - 1 \cdot u \cdot u d u d x$

解题步骤 1.3.3

提取负因数。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u \cdot u) d u d x$

解题步骤 1.3.4

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u) d u d x$

解题步骤 1.3.5

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u^{1}) d u d x$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{1 + 1} d u d x$

解题步骤 1.3.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{2} d u d x$

解题步骤 1.3.8

将 $u \sin (x)$ 和 $- u^{2}$ 重新排序。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} - u^{2} + u \sin (x) d u d x$

解题步骤 1.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (\int_{0}^{0} - u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

解题步骤 1.5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- \int_{0}^{0} u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

解题步骤 1.6

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

解题步骤 1.7

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

解题步骤 1.8

由于 $\sin (x)$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\sin (x)$ 移到积分外。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \int_{0}^{0} u d u) d x$

解题步骤 1.9

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{0}) d x$

解题步骤 1.10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u^{2}$ 。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

解题步骤 1.11

代入并化简。

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解题步骤 1.11.1

计算 $\frac{u^{3}}{3}$ 在 $0$ 处和在 $0$ 处的值。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

解题步骤 1.11.2

计算 $\frac{u^{2}}{2}$ 在 $0$ 处和在 $0$ 处的值。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

解题步骤 1.11.3

化简。

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解题步骤 1.11.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

解题步骤 1.11.3.2

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.11.3.2.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

解题步骤 1.11.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.11.3.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

解题步骤 1.11.3.2.2.2

约去公因数。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

解题步骤 1.11.3.2.2.3

重写表达式。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

解题步骤 1.11.3.2.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

解题步骤 1.11.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

解题步骤 1.11.3.4

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.11.3.4.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 (0)}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

解题步骤 1.11.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.11.3.4.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

解题步骤 1.11.3.4.2.2

约去公因数。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

解题步骤 1.11.3.4.2.3

重写表达式。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

解题步骤 1.11.3.4.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

解题步骤 1.11.3.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 + 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

解题步骤 1.11.3.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- 0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

解题步骤 1.11.3.7

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

解题步骤 1.11.3.8

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

解题步骤 1.11.3.9

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.11.3.9.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 (0)}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

解题步骤 1.11.3.9.2

约去公因数。

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解题步骤 1.11.3.9.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

解题步骤 1.11.3.9.2.2

约去公因数。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

解题步骤 1.11.3.9.2.3

重写表达式。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

解题步骤 1.11.3.9.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0^{2}}{2})) d x$

解题步骤 1.11.3.10

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{2})) d x$

解题步骤 1.11.3.11

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.11.3.11.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 (0)}{2})) d x$

解题步骤 1.11.3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 1.11.3.11.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

解题步骤 1.11.3.11.2.2

约去公因数。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

解题步骤 1.11.3.11.2.3

重写表达式。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{1})) d x$

解题步骤 1.11.3.11.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - 0)) d x$

解题步骤 1.11.3.12

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 + 0)) d x$

解题步骤 1.11.3.13

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) \cdot 0) d x$

解题步骤 1.11.3.14

将 $\sin (x)$ 乘以 $0$ 。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + 0) d x$

解题步骤 1.11.3.15

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \cdot 0 d x$

解题步骤 1.11.3.16

将 $\sin^{2} (x)$ 乘以 $0$ 。

$\int_{0}^{π} 0 d x$

解题步骤 2

计算 $\int_{0}^{π} 0 d x$ 。

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解题步骤 2.1

$0$ 对 $x$ 的积分为 $0$ 。

$0]_{0}^{π}$

解题步骤 2.2

代入并化简。

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解题步骤 2.2.1

计算 $0$ 在 $π$ 处和在 $0$ 处的值。

$(0) + 0$

解题步骤 2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

微积分学 示例

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