微积分学示例

$\int_{0}^{1} \arctan (2 x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \arctan (2 x)$ ， $d v = 1$ 。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{2}{4 x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $x$ 和 $\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ 。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x \cdot 2}{4 x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x}{4 x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x$

解题步骤 5

使 $u = 4 x^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 8 x d x$ ，以便 $\frac{1}{8} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 4 x^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $4 x^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $4 x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.3.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$8 x + 0$

解题步骤 5.1.4.2

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$8 x$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = 4 x^{2} + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 4 \cdot 0^{2} + 1$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

解题步骤 5.3.1.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 5.3.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = 4 x^{2} + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 4 \cdot 1^{2} + 1$

解题步骤 5.5

化简。

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解题步骤 5.5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 4 \cdot 1 + 1$

解题步骤 5.5.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 4 + 1$

解题步骤 5.5.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 5$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{8}$ 。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{u \cdot 8} d u$

解题步骤 6.2

将 $8$ 移到 $u$ 的左侧。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{8 u} d u$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{8}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{8}$ 移到积分外。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $- 2$ 。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 2}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 8.2

约去 $- 2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 (- 1)}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 8.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 8.2.2.2

约去公因数。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 8.2.2.3

重写表达式。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 8.3

将负号移到分数的前面。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 9

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算 $\arctan (2 x) x$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\arctan (2 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

解题步骤 10.2

计算 $\ln (| u |)$ 在 $5$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\arctan (2 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\arctan (2) \cdot 1 - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 10.3.2

将 $\arctan (2)$ 乘以 $1$ 。

$\arctan (2) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 10.3.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\arctan (2) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 10.3.4

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\arctan (2) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 10.3.5

将 $0$ 乘以 $\arctan (0)$ 。

$\arctan (2) + 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 10.3.6

将 $\arctan (2)$ 和 $0$ 相加。

$\arctan (2) - \frac{1}{4} (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\arctan (2) - \frac{1}{4} \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$

解题步骤 11.2

组合 $\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{4}$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $5$ 之间的距离为 $5$ 。

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{5}{| 1 |})}{4}$

解题步骤 12.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{5}{1})}{4}$

解题步骤 12.3

用 $5$ 除以 $1$ 。

$\arctan (2) - \frac{\ln (5)}{4}$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

计算 $\arctan (2)$ 。

$1.10714871 - \frac{\ln (5)}{4}$

解题步骤 13.2

从 $1.10714871$ 中减去 $\frac{\ln (5)}{4}$ 。

$0.70478923$

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