微积分学示例

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{2 π}{3}} \csc^{2} (\frac{1}{2} t) d t$

解题步骤 1

使 $u = \frac{1}{2} t$ 。然后使 $d u = \frac{1}{2} d t$ ，以便 $2 d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \frac{1}{2} t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\frac{1}{2} t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

解题步骤 1.1.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \frac{1}{2} t$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$

解题步骤 1.3

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{π}{3}$ 。

$u_{lower} = \frac{π}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \frac{1}{2} t$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (π)}{3}$

解题步骤 1.5.2

约去公因数。

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 1.5.3

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

解题步骤 2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \cdot 2 d u$

解题步骤 2.3

将 $2$ 移到 $\csc^{2} (u)$ 的左侧。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 2 \csc^{2} (u) d u$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) d u$

解题步骤 4

因为 $- \cot (u)$ 的导数为 $\csc^{2} (u)$ ，所以 $\csc^{2} (u)$ 的积分为 $- \cot (u)$ 。

$2 (- \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}})$

解题步骤 5

计算 $- \cot (u)$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $\frac{π}{6}$ 处的值。

$2 (- \cot (\frac{π}{3}) + \cot (\frac{π}{6}))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

$\cot (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 。

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \cot (\frac{π}{6}))$

解题步骤 6.2

$\cot (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 7.2

乘以 $2 (- \frac{1}{\sqrt{3}})$ 。

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解题步骤 7.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \frac{1}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 7.2.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{- 2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 7.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 8.1.2

合并和化简分母。

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解题步骤 8.1.2.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 8.1.2.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 8.1.2.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 8.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 8.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 8.1.2.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 8.1.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 8.1.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 8.1.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 8.1.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.2.6.4.1

约去公因数。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 8.1.2.6.4.2

重写表达式。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 8.1.2.6.5

计算指数。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 8.2

要将 $2 \sqrt{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 8.3

组合 $2 \sqrt{3}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

解题步骤 8.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

解题步骤 8.5

化简分子。

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解题步骤 8.5.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 8.5.2

将 $- 2 \sqrt{3}$ 和 $6 \sqrt{3}$ 相加。

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

小数形式：

$2.30940107 \dots$

微积分学 示例

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