微积分学示例

$\int \frac{- 3 x - 3}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

解题步骤 1

从 $- 3 x - 3$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 1.1

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{3 (- x) - 3}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

解题步骤 1.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{3 (- x) + 3 (- 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

解题步骤 1.3

从 $3 (- x) + 3 (- 1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{3 (- x - 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

解题步骤 2

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \frac{- x - 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

解题步骤 3

使 $u = x^{2} + 2 x - 4$ 。然后使 $d u = (2 x + 2) d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = (- x - 1) d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = x^{2} + 2 x - 4$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $x^{2} + 2 x - 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 4]$

解题步骤 3.1.2

求微分。

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解题步骤 3.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} + 2 x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 3.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 3.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 3.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 3.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.1.4.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 2 + 0$

解题步骤 3.1.4.2

将 $2 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$2 x + 2$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将负号移到分数的前面。

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{\sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$3 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

解题步骤 4.3

将 $2$ 移到 $\sqrt{u}$ 的左侧。

$3 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

解题步骤 6

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 3$ 。

$\frac{- 3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 8.1.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 8.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 8.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 8.2.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 8.2.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 8.2.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$- \frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 8.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

将 $- \frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ 重写为 $- \frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ 。

$- \frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2.3

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 6}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2.4

约去 $- 6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 3}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2.4.2.3

重写表达式。

$\frac{- 3}{1} u^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2.4.2.4

用 $- 3$ 除以 $1$ 。

$- 3 u^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 11

使用 $x^{2} + 2 x - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 3 {(x^{2} + 2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} + C$

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