微积分学示例

$y = 8 x^{- 7} + 2 x^{5} - \frac{5}{x^{3}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (8 x^{- 7} + 2 x^{5} - \frac{5}{x^{3}})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

根据加法法则， $8 x^{- 7} + 2 x^{5} - \frac{5}{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [8 x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{- 7}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{- 7}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{- 7}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 7$ 。

$8 (- 7 x^{- 8}) + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

解题步骤 3.2.3

将 $- 7$ 乘以 $8$ 。

$- 56 x^{- 8} + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$- 56 x^{- 8} + 2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- 56 x^{- 8} + 2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

解题步骤 3.3.3

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{5}{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 3.4.2

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

解题步骤 3.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.4.3.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

解题步骤 3.4.5

将 ${(x^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

解题步骤 3.4.5.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

解题步骤 3.4.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

解题步骤 3.4.7

通过指数相加将 $x^{- 6}$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.7.1

移动 $x^{2}$ 。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

解题步骤 3.4.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- 3 x^{2 - 6})$

解题步骤 3.4.7.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- 3 x^{- 4})$

解题步骤 3.4.8

将 $- 3$ 乘以 $- 5$ 。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} + 15 x^{- 4}$

解题步骤 3.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 56 \frac{1}{x^{8}} + 10 x^{4} + 15 x^{- 4}$

解题步骤 3.5.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 56 \frac{1}{x^{8}} + 10 x^{4} + 15 \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 3.5.3

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.3.1

组合 $- 56$ 和 $\frac{1}{x^{8}}$ 。

$\frac{- 56}{x^{8}} + 10 x^{4} + 15 \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 3.5.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{56}{x^{8}} + 10 x^{4} + 15 \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 3.5.3.3

组合 $15$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$- \frac{56}{x^{8}} + 10 x^{4} + \frac{15}{x^{4}}$

解题步骤 3.5.4

重新排序项。

$10 x^{4} + \frac{15}{x^{4}} - \frac{56}{x^{8}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 10 x^{4} + \frac{15}{x^{4}} - \frac{56}{x^{8}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 10 x^{4} + \frac{15}{x^{4}} - \frac{56}{x^{8}}$

微积分学 示例

微积分学示例