微积分学示例

$f (x, y) = x + y + x y$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (f (x, y)) = \frac{d}{d x} (x + y + x y)$

解题步骤 2

将 $f$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)]$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x + y + x y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$1 + y' + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [x y]$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$1 + y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$1 + y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + y' + x y' + y \cdot 1$

解题步骤 3.4.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$1 + y' + x y' + y$

解题步骤 3.5

重新排序项。

$x y' + y + 1 + y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{d}{d x} ((f x, f y)) = x y' + y + 1 + y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x ((f x, f y))}$ 。

$x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x ((f x, f y))}$

解题步骤 5.2

化简 $\frac{d}{d x ((f x, f y))}$ 。

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解题步骤 5.2.1

约去 $d$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x (f x, f y)}$

解题步骤 5.2.1.2

重写表达式。

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{x ((f x, f y))}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $x$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x (f x), x (f y))}$

解题步骤 5.2.2.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.2.2.1

移动 $x$ 。

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x \cdot x f, x (f y))}$

解题步骤 5.2.2.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x (f y))}$

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)}$

解题步骤 5.3

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.3.1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$x y' + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y$

解题步骤 5.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x y' + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

解题步骤 5.4

从 $x y' + y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.4.1

从 $x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' x + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

解题步骤 5.4.2

对 $y'$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' x + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

解题步骤 5.4.3

从 ${y'}^{1}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' x + y' \cdot 1 = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

解题步骤 5.4.4

从 $y' x + y' \cdot 1$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

解题步骤 5.5

将 $y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$ 中的每一项除以 $x + 1$ 并化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$ 中的每一项都除以 $x + 1$ 。

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.1

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

解题步骤 5.5.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

解题步骤 5.5.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

解题步骤 5.5.3.1.2

将 $\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}$ 乘以 $\frac{1}{x + 1}$ 。

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

解题步骤 5.5.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} - \frac{y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

解题步骤 5.5.3.1.4

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} - \frac{y}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}$

解题步骤 5.5.3.2

合并为一个分式。

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解题步骤 5.5.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$

解题步骤 5.5.3.2.2

将 $\frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$ 中的因式重新排序。

$y' = \frac{1}{(x + 1) (x^{2} f, x f y)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(x + 1) (x^{2} f, x f y)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$

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