微积分学示例

$\int x^{3} \ln ({(x)}^{2}) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x^{2})$ ， $d v = x^{3}$ 。

$\ln (x^{2}) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{2}{x} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$\ln (x^{2}) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{2}{x} d x$

解题步骤 2.2

组合 $\ln (x^{2})$ 和 $\frac{x^{4}}{4}$ 。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{2}{x} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{2}{x} d x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $x^{4}$ 和 $\frac{2}{x}$ 。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4} \cdot 2}{x} d x)$

解题步骤 4.2

将 $2$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{2 \cdot x^{4}}{x} d x)$

解题步骤 4.3

约去 $x^{4}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从 $2 x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x (2 x^{3})}{x} d x)$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x (2 x^{3})}{x^{1}} d x)$

解题步骤 4.3.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} d x)$

解题步骤 4.3.2.3

约去公因数。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} d x)$

解题步骤 4.3.2.4

重写表达式。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{2 x^{3}}{1} d x)$

解题步骤 4.3.2.5

用 $2 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int 2 x^{3} d x)$

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int 2 x^{3} d x$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (2 \int x^{3} d x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - 2 (\frac{1}{4}) \int x^{3} d x$

解题步骤 6.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} + \frac{- 2}{4} \int x^{3} d x$

解题步骤 6.3

约去 $- 2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} + \frac{2 (- 1)}{4} \int x^{3} d x$

解题步骤 6.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int x^{3} d x$

解题步骤 6.3.2.2

约去公因数。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int x^{3} d x$

解题步骤 6.3.2.3

重写表达式。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} + \frac{- 1}{2} \int x^{3} d x$

解题步骤 6.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \frac{1}{2} \int x^{3} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ 重写为 $\frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4}) + C$ 。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{4}}{4} + C$

解题步骤 8.2.2

将 $\frac{x^{4}}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{x^{4}}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 8.2.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{x^{4}}{8} + C$

解题步骤 8.3

重新排序项。

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{8} x^{4} + C$

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